CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE

brisée dont la longueur L" cliffèie très peu de 1/ ; la démonstration s'achève en remarquant que l'on a S > L"^L. Le nombre S ainsi déterminé est égal ou supérieur à la distance entre l'origine et l'extrémité du lien. Pour qu'il soit égal à cette distance, il faut d'abord que, quels que soient les nombres tu t2: ..., satisfaisant à la condition

*<ti<h< < P,

les points correspondants du lien se trouvent sur le vecteur qui va de l'origine du lien à son extrémité ; cela exige que tous les points du lien soient sur le vecteur. Il faut en outre que, si l'on a t\ < h <C ht Ie point du vecteur qui correspond à t.2 soit compris entre les points qui correspondent à tit t^ ou confondu avec l'un d'eux; mais si les points qui correspondent à t2, t3 sont confondus, il faut encore, et pour la même raison, que tous les points qui correspondent aux valeurs intermédiaires soient aussi confondus, en sorte que les fonctions a(l), d/(Z) soient toutes les deux constantes dans l'intervalle t2, t3). Si donc on écarte le cas où l'intervalle (a, |3) contiendrait un intervalle partiel dans lequel les deux fonctions (p(i), ty(l) seraient constantes, la correspondance entre l'intervalle (a, |3) et les points du vecteur sera parfaite et le point \®(t), ty(t)~\, quand t croîtra de a, fi, décrira le vecteur de son origine à son extrémité, toujours dans le môme sens. Ces remarques donnent un sens précis à la proposition : la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre.

11 résulte de là qu'un lien quelconque, qui ne se réduit pas à un point, et qui a une longueur, a une longueur positive.

Si les fonctions Q\i), <ty(t) sont à variation bornée dans l'intervalle (a, fi), elles sont évidemment à variation bornée dans tout intervalle contenu dans (a, fi) ; en sorte que si tlt /2 appartiennent à l'intervalle (a, B), le lien partiel défini par les formules

x = ©(/), y = ty(t), k<:t<t2,

a une longueur ; désignons-la par S(/ls t2) : on voit immédiatement que si l'on suppose /j < t2 <C tà, on aura

(i) s(/x, g = s(«1.g-hS(<a. y

et que, si l'on convient de poser en général

S(fif tt) = — S(/i, h),

l'égalité (i) subsistera, quels que soient les nombres tlt t2, t3 appartenant à l'intervalle (a, |3).

L'égalité (i) montra que la fonction S (a, t), h laquelle on attribuera la valeur o pour t = a. est croissante dans l'intervalle (a, /3) ; elle croît de o à S = S (a, |3). Il est aisé de voir qu'elle est continue ; si en effet, en supposant tv << t.,, on désigne par V^ (tt, fe), "Vx (t\, h), les variations totales des fonctions ©(/), <];(£) on aura

or les fonctions <p(t), ty(t) étant continues, les fonctions de t, V(0(a, t); V^(a, /) sont continues dans l'intervalle (a, |3) ; par conséquent, pourvu que la différence ^ — ^ soit suffisamment petite, les nombres V (/i, U), V. (£15 /2) seront aussi petits que l'on veut; il en sera de même de S(/i, h) ; cela suffit à montrer que la fonction S (a, t) est continue dans l'intervalle (a, |3).

Puisque la fonction S (a, /) est continue et croissante dans l'intervalle (ce, jS), l'équation s = S (a, f) définit / comme une fonction continue et croissante de s dans l'intervalle (o, S) ; en remplaçant t par cette fonction dans <p(/), ^(2) on voit que les formules qui définissent le lien peuvent être prises sous la forme

s désignant la longueur du lien à partir de son origine. 317. Conservons toujours la même notation

pour définir le lien (T). Afin d'abréger un peu, au lieu d'appeler [©(/), ty(ï)] le point du lien (T) qui correspond à la valeur / du paramètre, je me contenterai souvent de dire : le point t.

Supposons que les fonctions (p(i), ty(t) admettent, dans l'intervalle (/0, U), des dérivées <p' (t), ij/ (/; ; considérons les deux points i, t H- h, qui corespondent à deux valeurs voisines de la variable,