CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE

valeurs que l'on suppose appartenir à l'intervalle [a, |5) ; l'équation de la droite qui joint ces deux points peut s'écrire

* — ? (0 y — «KO .

o(* + /*) — <p(Q ty(t-+- h) — ty (l) '

lorsque h tend vers o, les deux dénominateurs ont évidemment pour limite a>' (t) et d/ [t) et l'on dit, en supposant que ces deux quantités ne soient pas nulles simultanément, que la droite donc l'équation est

g — ?(Q r — «KO «p'W *'(0

est tangente à (T) au point /; on dit que, sur celte tangente, la direction définie par les coefficients directeurs <pr (f), ij/ (t) est la direction qui correspond aux valeurs croissantes de /, et cette façon de parler est justifiée par ce fait que la direction dont les coefficients directeurs sont

cp (t -h h) — o (t) ty (t -+- h) — ty {t) ~~h """ ' ' ~~h~

est, lorsque h est positif, la direction du vecteur qui va du point l au point t -+- h.

On désigne le nombre positif

sous le nom de vitesse, emprunté à la cinématique. Le même nom s'applique aussi à un vecteur dont l'orgïne est le point (o, o) et l'extrémité le point [cp1 (t), <V (<01» ou au vecteur équipollent, ayant son origine au point / ; la direction de ce vecteur est précisément ce qu'on vient d'appeler la direction sur la tangente qui correspond aux valeurs croissantes de /.

Le nombre positif V(/) est la limite, pour h = o, de la vitesse moyenne relative à l'intervalle (/, t H- h), c'est-à-dire du rapport à la valeur absolue de h de la distance des deux points t et t 4- 1i ; en d'autres termes, on a :

lim •[?(< + *)-y(Q]' + [*(< + A) -HQ]'

comme on le voit sans peine en remplaçant dans le second membre

u(t -+- h) — f(t),ty(t-+- h) —ty(l) par /î [*'(/) -t- s], h[^'(l) + r(],

ou s, yj désignent des nombres aussi petits qu'on le veut, en valeur absolue, pourvu qu'on suppose assez petite la valeur absolue de h. En posant

A = v'*(t) + t}/2 (t), R = 2 etp' (4) -+- 2 7J.V (0 -+■ s2 + r,8, on pourra s'appuyer sur l'inégalité

| v/Ah- K — y/À | <; v/fX]

qui a certainement lieu si l'on a | K | <^ A. La démonstration n'exige pas la continuité des dérivées, mais elle permet de reconnaître que, si ces dérivées sont continues et si elles ne s'annulent pas simultanément dans l'intervalle (a, |3), la vitesse moyenne

tend uniformément vers sa limite V(£), quand /i tend vers o; en d'autres termes à chaque nombre positif s correspond un nombre positif r,, tel que l'on ait,

pour tous les nombres t et t -\- h qui satisfont aux conditions a fg « ^ p, a < i + A < p, ] A J < t,.

318. — Considérons la vitesse moyenne fl relative à l'intervalle (a, |S) : À représente les distances des deux points a, fi. Je vais montrer, en supposant que les fonctions ©(f), <!»(/) admettent des dérivées dans l'intervalle (a, |3), qu'il existe un nombre H, appartenant à l'intervalle (a, j3) et tel que l'on ait '

(') M. Darboux dans son Mémoire Sur /es développements en série des fonctions d'une variable (Journal de Liouville, 2° série t. II) a montré l'importance de cette proposition qui joue dans plusieurs questions un rôle analogue à celui du théorème du n° 215.