CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE

Supposons en effet a < tt < *2 ... < /„! < |3 et considérons la ligne brisée inscrite dont les sommets successifs sont les points a, ti, h,..., tn 1} fi du lien; soient r}u o\,..., r}n les côtés de cette ligne brisée, il est clair que l'on aura

ji — a = p — a

or le second membre est compris entre le plus petit et le plus grand des nombres

tL — a U — ti (3 — ln i'

je désignerai par B ^ — le plus grand de ces nombres : a15 fix

sont deux consécutifs des nombres a, t{, U,..., fi et At est la distance des points correspondants du lien, on aura alors

On peut raisonner sur l'intervalle (a'i, ^3i comme on a fait sur l'intervalle (a, jS) et poursuivre indéfiniment ; on formera ainsi une suite infinie d'intervalles (a, fi), ai, |3i),... (ap, fi,,),--- dont chacun est contenu dans le précédent ; les écarts de ces intervalles vont en diminuant ; rien n'empêche de s'arranger pour qu'il décroissent indéfiniment ; si l'on suppose donc que l'on a lim. (Jfip — tt.p) = o, il est clair que les deux suites infinies ai, a2,...

et |3i, fin,... auront une limite commune B, et qu'on pourra écrire

Si, maintenant, on désigne par c^, et rï'P les distances des points OLp, fiv au point ç; on aura

Pp — aP — Pp — aP

le second membre est d'ailleurs compris entre le plus grand et le plus petit des deux rapports

pourvu que p soit assez grand, chacun de ces deux rapports est aussi voisin qu'on le veut de V (£) ; la suite d'inégalités

P — a — pi — <*i — " — Pj> — ap exige donc que Ton ait

En reprenant la démonstration, on s'assurera sans peine qu'on peut affirmer l'existence d'un nombre appartenant à l'intervalle (a, ]3) tel que l'on ait

sauf dans le cas où le lien (T) se réduit au vecteur qui va de l'origine du lien à son extrémité et où les fonctions o(t), ^(t) sont du premier degré en t.

Un raisonnement tout pareil montre, en supposant que le lien (T) ait une longueur S (a, |3), qu'il y a un nombre £', appartenant à l'intervalle (a, ]3), pour lequel on a

Il suffit, pour cela, de partir de l'égalité

S (a, p) S(«, U) -h S (tif t2) -+- ... -+- S (<,„, p) p — a p — a

dans laquelle le second membre est plus grand que le plus petit des rapports

s(g.'ti) s(f,, g s (<„,, p)

*t — a' fe f, '"••' p — fn, "

319. — Reprenons, en supposant toujours a <C h <C fe < • '•• <C |3,

la ligne brisée inscrite clans le lien ; si l'on suppose que les fonctions <p(£), ty(t) admettent des dérivées dans l'intervalle (a, jS), on pourra appliquer le premier théorème du précédent numéro aux intervalles (ce, U), (t{, h),..., (tn.x tn) et affirmer l'existence de