CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE 2ÔJ
nombres £t, '£.,,..., çn appartenant respectivement à ces intervalles, tels cm 'on ait
ï-^t, £▼(«.). f^âmi ^t;âv(y
et, par suite,
81+82+... + 8„^(tl — «OV^ij + ft— fd)V(y +-... + (p «„,) V(|„).
Supposons que la fonction V(£) soit bornée et intégrable dans l'intervalle (a, jS) ; pourvu que les intervalles partiels soient suffisamment petits, le second membre est une valeur aussi approchée qu'on le veut de l'intégrale
f Y(t)dt;
donc, pourvu que les intervalles partiels soient suffisamment petits, la longueur de la ligne brisée inscrite reste au-dessous d'un nombre fixe ; elle reste donc toujours au-dessous de ce nombre fixe, puisqu'elle ne peut qu'augmenter quand on subdivise les intervalles partiels ; l'ensemble (L) du n° 316 est borné en haut et l'on a, en reprenant les notations de ce même numéro,
fP
(I) S (a, P)^J \(l)dt,
puisque la différence entre S (a, jS) et o\ +^+... -h d„ est aussi petite qu'on le veut, pourvu que les intervalles partiels soient suffisamment petits. On peut maintenant appliquer la seconde proposition ; elle conduira à une inégalité de la forme
^ Ci - *) ycei) + {k - h) v^) + ... + (p - *„o v(^),
en désignant par £[, £'2,..., ||? des nombres qui appartiennent respectivement aux intervalles (a, 2i), (ti, h)..., (/„!, |3). Le dernier membre, pourvu que les intervalles soient assez petits, est une valeur aussi approchée qu'on veut de
P V(l)dt;
on a donc
Par conséquent, lorsque les fonctions ©(/), ^{/) ont des dérivées dans l'intervalle (a, |3) et que la fonction V(f) est bornée et intégrable, on a, en vertu des inégalités (1) et (2),
S (a, P)= f Y{t)it.
Lorsqu'on suppose que la fonction V (t) est continue et ne s'annule pas, la démonstration peut se faire d'une façon beaucoup plus facile en se fondant sur ce que le rapport
tend uniformément vers V(/), quand h tend vers o. 320. — Considérons le lien défini par les formules.
Je supposerai, dans tout ce numéro, que les fonctions <p (/), û>(i) admettent, dans l'intervalle (a, fi), des dérivées continues d{t), <]/(/) qui ne s'annulent pas pour une même valeur de /. En chaque point du lien, il y a alors une tangente.
Si ©'(/) ne s'annule pas à l'intérieur de l'intervalle («, fit), la fonction ©(/) est ou constamment croissante, ou constamment décroissante dans l'intervalle (a, fi). On a alors affaire à un lien élémentaire du type À)'. Il est clair, d'après cela, que le lien appartient au type Jb lorsqu'il est simple et que l'une des dérivées (p'ft), <j/(i), supposées continues dans l'intervalle (y., fi), ne s'annule qu'un nombre fini de fois dans cet intervalle.
Reprenons la supposition antérieure; à l'intérieur de l'intervalle [a, fi), la fonction ©'(/) ne s'annule pas; ajoutons à cette supposition la suivante : la pente -7W de la tangente, qui est alors évidemment continue pour toutes les valeurs de t intérieures
