CHAPITRE IX. LANGAGE GÉOMÉTRIQUE

à l'intervalle, est toujours croissante, ou toujours décroissante, pour chacune de ces valeurs. Je n'exclus pas d'ailleurs le cas où l'une des quantités d (a), <p'Q3) serait nulle. Quoiqu'il en soit, la

fonction —XJr ne peut atteindre qu'une fois une valeur donnée quand / croît de a à p.

Je dis que, sous les conditions prescrites, le lien ne peut avoir plus de deux points communs avec une droite.

Cela revient à dire que l'équation

att(l) -h b-b{l) -h c = o

ne peut avoir plus de deux racines appartenant à l'intervalle (<%, |3) ; si, en effet, le premier membre de cette équation s'annulait pour trois valeurs t0, tv, t2 (t0 <C ^i <C 0> sa dérivée

■™ ' Tlî

s'annulerait pour une valeur de t comprise entre t0 et tl et pour une autre valeur comprise entre tt et t2, ce qui est contraire aux hypothèses. On remarquera que si cette dérivée s'annule pour / = a, ou pour t = |3, elle ne peut s'annuler pour aucune autre valeur appartenant à l'intervalle (a, |3) ; que si elle s'annule pour une valeur / = t0 intérieure à cet intervalle, elle change de signe pour cette valeur. Si la dérivée a's>'(£) H- b'b'^t) ne s'annule pas à l'intérieur de l'intervalle (a, |3), la fonction a$(t) H- b'ït(t) -h c varie toujours dans le même sens, quand t croît de a à |3, et ne peut donc s'annuler qu'une fois. Cette même fonction peut s'annuler une ou deux fois, si a<p'(t) -f- &<j/(0 admet une racine /0, comprise entre a et ^ : dans ce cas, la fonction acp(t) -+- bty(t) -+- c varie toujours dans le même sens dans l'intervalle (a, O e* dans le sens contraire dans l'intervalle (J.0, j3). Elle peut s'annuler, ou non, à l'intérieur de chacun de ces intervalles ; lorsqu'elle s'annule ainsi, pour une valeur autre que /0, elle change de signe en s'annulant, le lien traverse alors la droite. Enfin si la fonction a&U) -+- bb(t) + c s'annulait pour la valeur t = tQ qui annule la dérivée, elle ne pourrait s'annuler pour aucune autre valeur de t appartenant à l'intervalle (a, |3), et ne changerait pas de signe pour t = t0 ; la droite, qui serait alors la tangente au point t0,

2 4o INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

n'aurait qu'un point commun avec le lien et celui-ci resterait, abstraction faite du point de contact, tout entier du même côté de la droite. Cette dernière conclusion s'appliquerait au cas où la droite considérée serait tangente à l'origine ou à l'extrémité du lien.

En résumé, sous les conditions imposées, la droite peut ne pas avoir de point commun avec le lien, le traverser une ou deux fois, lui être tangente en le laissant alors tout entier d'un même côté.

Lorsque les fonctions (p'(f), d/(/) admettent elles-mêmes des dérivées <p"(t), 4*"(0' °Iue Je supposerai aussi continues dans l'intervalle («, fi), l'hypothèse relative à la fonction *T(i\ revient à dire que la fonction

garde le même signe dans l'intervalle (a, fi). Il est alors aisé de reconnaître que, si l'on regarde la direction de la tangente au point /0 comme étant celle qui correspond aux valeurs croissantes de t et que déterminent les quantités rf'(t0), ^'(t0) considérées comme des paramètres directeurs, le lien reste constamment à gauche ou à droite de sa tangente suivant que la quantité ©'(£)<]/(/) — d/(/)©"(/) est positive ou négative.

La direction sur la normale au lien, qui, en partant du point t0, est à gauche de la tangente, a pour paramètres directeurs les

quantités — 4*'W» ?'{^o)-

Le lecteur reconnaîtra sans peine que, sous le bénéfice des suppositions qui ont été faites au début de ce numéro, la distance d'un point variable / du lien à un point fixe /0 du même lien, va en augmentant quand la valeur absolue de la différence t — /0 augmente, pourvu que cette valeur absolue reste suffisamment petite. 11 en conclura qu'un cercle de rayon suffisamment petit, de centre t0 (a <C t0 <Cfi"; ne rencontre le lien qu'en deux points, correspondant à des valeurs /', l" entre lesquelles /0 est compris. Le lien décompose l'intérieur du cercle en deux continuums ; il est, pour ces deux continuums une partie de la frontière.

Je désignerai sous le nom d'arc élémentaire un lien qui peut être défini par les formules