CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE 9.[\ I

où les fonctions (Dit), à t , continues dans l'intervalle (a, 6 satisfont aux conditions qui vont être énumérées.

Les fonctions oit, d>(7 admettent dans l'intervalle a, |5) des dérivées continues o'(l), d/ t,. Aucune de ces dérivées ne s'annule à l'intérieur de l'intervalle (a, |S), à moins d'être constamment nulle dans cet intervalle, auquel cas l'autre dérivée ne s'annule pas ; ainsi on n'exclut pas le cas où le lien se réduirait à un segment de droite parallèle à l'un des axes. La fonction —Si est ou

croissante ou décroissante pour toute valeur de / intérieure à l'intervalle (a, jS) ; il résulte de cette hypothèse que, si cp'Çt) s'annule pour l'une des hornes, le précédent rapport tend soit vers -+- oo , soit vers — co , soit vers une limite, quand / s'approche de cette borne.

Je réserverai le nom de courbe aux liens qui peuvent être décomposés en un nombre fini d'arcs élémentaires. Une courbe est simple dans les mêmes conditions qu'un lien.

Lorsque, dans la figure formée par un lien simple du type Jb et le continuum intérieur, le lien est une courbe, je désignerai cette figure sous le nom de domaine simplement connexe ou de domaine simple. La courbe frontière est alors souvent désignée sous le nom de contour du domaine ; l'intérieur du domaine est Je continuum intérieur à la frontière. La figure formée par une courbe fermée simple, m courbes fermées simples intérieures à la première et extérieures les unes aux autres et par le continuum ensemble des points intérieurs à la première courbe et extérieurs aux m autres est un domaine m + i fois connexe ; l'intérieur de ce domaine est le continuum qu'on vient de définir ; sa frontière est formée de m -h i contours. Un domaine m -+- i fois connexe peut être décomposé en deux domaines simplement connexes au moyen de m H- i courbes simples (n° 312 .

Tanneby II. — Introduction à la Théorie des fonctions 16