CHAPITRE X. NOMBRES IMAGINAIRES 2^Ô

Plus généralement, quelle signification peut-on attribuer à l'assertion suivante :

Un polynôme donné f(x) à coefficients numériques réels admet •la racine imaginaire a -+- / — a, où a et a sont des nombres réels donnés, le second étant positif?

Cette façon de parler exprimera le même fait que tout à l'heure : •en remplaçant dans /"(»). x par a -h / — - a, développant les puissances de a ■+- y — s& par la formule du binôme comme si — a. était positif, remplaçant partout y — a y1 — ûs Par — rj-- les termes qui contiennent / — a en iacteur se détruisent et il en est de même des autres. Les calculs que l'on a faits, à la vérité, n'ont pas ■de sens, mais il n'y aura plus aucune difficulté en procédant •comme il suit :

On commence par remplacer x par u -+- yv, u et v étant des indéterminées, on développe les puissances de u -+- yv suivant la formule du binôme, en remplaçant partout (\/v)2n+l par vn\/v, [yvfn par vn et l'on met le résultat sous la forme

a(tt, v) -h \/u ^(h, v),

a u. r , «1/ u, v étant des polynômes entiers en u, v; dans ces polynômes on remplace u par a et v par — a : dire que le polynôme f x admet la racine imaginaire a -+- \ — 2, c'est dire que .l'on a

Or, si dans le polynôme fix) on avait remplacé x par u -+- i yv, au lieu de le remplacer par u + /p, et si l'on avait fait les mêmes calculs, c'est-à-dire si l'on avait, après le développement des puissances, remplacé [iy'v)^^ par i2n+lv'\''v=jiv)"iy/v, et (iy/vèf* par (iâu)n, il est clair que l'on aurait trouvé

o (u, i2v) -+- i\Jv Ji(.ra, ï2v).

Les deux équations <p(a, — a.) = o, ip(a, — a) = o peuvent s interpréter en disant que les deux polynômes en i2,

œ(a, i2a), ^(«P, i2a) s'annulent quand on y remplace i* par — i, ce qui revient à dire

ikk 1MK0DCCT10N A LA THEORIE DES FONCTIONS

qu'ils sont divisibles par r -+- i. Il en est de même évidemment du polynôme en i

ce (a, £2a) -t- i\/a 'l>(a, i2a)

qui peut être regardé comme le résultat de la substitution de a -+- /\/a à la place de x. Réciproquement, ce polynôme en i ne peut être divisible par ï1 -h i que si les deux nombres y (a, — a) et di (a, — a) sont nuls : ces deux nombres sont en effet les restes de la division par i1 H- i des deux polynômes (en i2) <p (a, va . <]>(a, i2a), d'où l'on conclut immédiatement que

ç (a, — a) 4- iy/a ^ (a, — a) est le reste de la division par i2 + i de

ç (a, t2a) -t- iy/a (l(a, i2a),

Voici donc le sens précis que nous sommes amenés à donner à cette assertion : le polynôme f'\X; admet la racine imaginaire a ~h \/ — a. Elle veut dire : quand on remplace dans ce polynôme x par a + i\Ja, le polynôme en i que Ton obtient ainsi est divisible par i2 H- i .

Le théorème fondamental de l'Algèbre peut s'énoncer ainsi : Étant donné un polynôme f(x, i) à deux variables x et i, à coefficients numériques réels, il existe deux nombres réels a, b tels que le polynôme (en i) f(a -+- 6/, i , obtenu en remplaçant x par a -+- bi+ soit divisible par i2 H- i. Si l'on ordonne le polynôme f(x, ï) par rapport à x, les coefficients des diverses puissances de x deviennent des polynômes en/; rien n'empêche évidemment de substituer à ces polynômes les restes que l'on obtient en les divisant par /'- -+- i, puisque la partie que l'on supprime ainsi est toujours divisible par ii-Jt- i : on ne restreindra donc pas la généralité de l'énoncé en supposant, comme on le fait d'habitude, que le polynôme f(x, i) est du premier degré en i. C'est à Gauss que l'on doit les premières démonstrations de ce théorème, et l'une de celles qu'il a données reste, à un certain point de vue, supérieure à toutes les autres, malgré ce qu'elle a de compliqué et de détourné, parce