CHAPITRE X. NOMBRES IMAGINAIRES

qu'elle semble réduire au minimum la partie de la démonstration qui n'est pas algébrique. Le seul postulat qui, dans la démonstration de Gauss, n'appartient pas à la pure Algèbre est en effet le suivant : toute équation de degré impair, à coefficients réels, admet une racine réelle. Cette proposition est contenue, comme cas particulier, dans l'une de celles que l'on a établies au n° 166. Ce théorème laisse prévoir l'importance de l'introduction en Algèbre des nombres dits imaginaires. Ces nombres ne jouent pas un rôle moins important en Analyse, ainsi que cela avait été reconnu longtemps avant que leur signification ne fût précisée. Il reste à définir ces nombres et à expliquer les règles de calcul qui les concernent : ce qui précède justifiera et leur introduction, et les règles de leur calcul. Le lecteur, auquel le sujet est sans doute familier, me permettra de le traiter brièvement.

322. — Un nombre imaginaire est, par définition, une expression a + fii, du premier degré en i, où a, fi sont des nombres réels qui peuvent d'ailleurs être quelconques, expression soumise à des règles de calcul qu'on va expliquer ; pour le moment, on doit porter son attention sur ce qu'un tel nombre est défini quand on se donne les deux coefficients réels) au moyen desquels est formé le binôme du premier degré par lequel il s'exprime : ces deux coefficients a, fi ne jouent pas le même rôle, le premier a. est la partie réelle du nombre imaginaire, le second est le coefficient de i.

On fait rentrer les nombres réels dans les nombres imaginaires en convenant de regarder a H- fii, lorsque fi est nul, comme étant la même chose que le nombre réel a. En particulier lorsque a et fi sont nuls, le symbole a H- fii est la même chose que le nombre réel o. Lorsque la partie réelle a est nulle, on dit que le nombre a H- fii, ou fii, est purement imaginaire.

On dit que les nombres imaginaires y. -b fii, a' + fi'i, où a, fi, «' , fi' sont réels, sont égaux lorsque ces nombres sont les mêmes, c'est-à-dire lorsque l'on a a = a', fi = fi'. Cette définition, d'une part, s'applique lorsque les coefficients de i sont nuls, c'est-à-dire dans le cas où les nombres imaginaires se réduisent à des nombres réels ; d'autre part elle satisfait évidemment aux conditions de toute définition de l'égalité (A =' A, A = B entraîne B = A :

2/jG IXTRODHCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

A = C et B — C entraînent k.'= B). Enfin les définitions des opérations seront telles qu'on pourra dans ces opérations remplacer, sans changer le résultat, tel nombre imaginaire que l'on voudra, par un nombre imaginaire égal.

On définit d'un seul coup l'addition, la soustraction, la multiplication effectuée, sur des nombres imaginaires, en disant que ce? opérations se l'ont comme si les expressions a + Si étaient des binômes ordinaires du premier degré, si ce n'est qu'on remplace Je résultat, ordonné par rapport à (', par son reste relativement à i- H- i : ce reste, étant lui-même un binôme du premier degré en i, est un nombre imaginaire.

Rien n'empêche de désigner par une seule lettre un binôme du premier degré en i ou, si l'on veut, un nombre imaginaire. Si A, A', A", .., désignent les binômes et-hjSï, &'--t- 81 i, a." -+- 8% ..., où a, |3, ar, jS', «", 8", ..., sont des nombres réels, le résultat d'opérations d'addition, de soustraction, de multiplication... effectuées sur les nombres imaginaires A, A', A", ..., s'obtiendra, d'après ce que l'on vient de dire, de la façon suivante :

Considérons un certain polynôme en A, A', A", ..., tel. par exemple, que