CHAPITRE VII. INTEGRALES DEFINIES 1~j

Soit, en désignant par CL un nombre quelconque différent de i en valeur absolue,

J = I log (i — 2 y- cos x -h a2) dx.

La fonction log i — 2 a cos x + a2 étant continue dans l'intervalle considéré, elle est intégrable, et l'on a par définition

J = lim - > lo°- ( 1 — 2 a cos — -+■

y cos h s

ir. ,\ U2n — i) a — I 2 y- cos h « ) = — :

= lim - I02; ( 1 — 2

mais, en vertu d'une identité bien connue, on a

i=zn — 1

ir(-

on aura donc

J = lim - log 1 ~ a -+- log (1 — a2")], n=00 n L ° 1+ * D V >\

ou

J= lin^riog^+log^-i)!,

suivant que a sera, ou non, compris entre — 1 et -h 1 ; dans le premier cas, J est manifestement nul; dans le second cas, l'identité

log (a* — 1) = n log a2 + log (\ — ij

montre que J a pour valeur 7u log a2.

On aperçoit bien que c'est grâce à une circonstance très particulière que l'on a pu parvenir au résultat final.

251. — L'évaluation des intégrales définies, la recherche des fonctions primitives sont deux problèmes connexes, ainsi qu'il résulte de la proposition suivante.

Si, dans l'intervalle (a0, a), la fonction F (x) admet pour dérivée la fonction f(x) [ce qui implique la continuité de F (a;)], et si, dans ce même intervalle, la fonction f(x) est bornée et intégrable, on a

faf(x)dx = F(a)-F(a()).

Soit, en effet, (a0, at, ..., an-i, a) une décomposition quelconque de l'intervalle (a0, a) ; on aura, en vertu de la formule des accroissements finis (n° 216),

F(a)-F(a0)=F(a1)-F(a0) + F(ao)-F(fl1) + ... + F(a)-F(a)!1) — - (at — a0)f(xi) -i- (a2 — ai)j{xî) + ... + (a — an i)f(xn),

en désignant par xl9 x2, ... xn des nombres intérieurs respectivementaux intervalles (a0, ad), (an a2), ... (a„,, a). La différence F (a) — F (a0) peut donc être regardée comme une des sommes relatives à une décomposition quelconque (a0, av ..., a), sommes dont la considération est le point de départ de la définition de

l'intégrale | f(x)dx. Si la fonction j (x) est intégrable dans

JaQ

l'intervalle (a0, a), c'est qu'il y a un nombre J dont s'approchent autant qu'on le veut les sommes relatives à une décomposition quelconque pourvu que les intervalles partiels soient suffisamment petits. Ce nombre J est donc égal à F (a) — F (a0). Tel est le cas si la fonction f(x) est continue, ou à variation bornée, clans l'intervalle (a0, a). Mais le seul fait, pour une fonction f{x), d'être la dérivée d'une fonction F (a:), n'implique pas l'intégrabililé de cette fonction.

Les conclusions auxquelles on vient d'arriver peuvent se déduire en partie de l'étude de la fonction de x (').

f(x)dx «.; «0

(1) Il convient de remarquer que, dans la notation usuelle

Jr>x f{x)dx aa

la lettre x n'a pas le même sens dans f.(x)dx et comme limite supérieure de