CHAPITRE X. NOMBRES IMAGINAIRES 2"4y

fondamentales de l'addition et de la multiplication

A -h A' = A' h- A, AA' = A'A,

A h- (A' -h A") = (A + A') -+- A", A (A'A") = (AA') A",

A (A h- A") = AA' + AA".

Le seul nombre qui, ajouté à A reproduise A est o. Le seul» nombre qui ajouté à A donne pour somme A' est A' — A ; en particulier le seul nombre qui ajouté à A donne pour somme o est le nombre — A = — a — |&', symétrique de A.

Si 11 est un nombre naturel, in est égal à i, /', — i, — i suivant que le reste de la division de n par (\ est o, i, 2 ou 3.

Le fait que, en vertu des règles admises, r est égal à — 1 explique que l'on emploie souvent le symbole y/ — 1, qui par luimême est dénué de sens, avec la même signification que la lettre i.

Un produit de facteurs imaginaires ne peut être nul que si l'un de ses facteurs est nul ; cela est clair, si l'on se reporte à ce théorème d'algèbre : le produit de plusieurs polynômes premiers à ?•+ 1 est premier à r -f- t : cela s'établit directement sans aucune

peine. La proposition s'étend immédiatement à trois, quatre,

facteurs. On en retrouvera d'ailleurs la démonstration, un peu plus loin, sous une autre forme.

Il reste, pour en finir avec les opérations rationnelles, à définir le quotient de deux nombres, imaginaires K. = a. + pi, V = y! -i- ®ï. Cette définition résulte de la proposition suivante.

Si A' n°est pas nul, il existe un nombre imaginaire x -1- yi, et un seul, tel que son produit par A' soit égal à A. Ce nombre unique est, par définition, le quotient de la division du nombre imaginaire A par le nombre imaginaire A' : dire que l'on a

a -h ^1= (a' -t- p'i) (x -hji),

c'est, en vertu des conventions précédentes, dire que l'on a

a'x p'j = at

le déterminant a'2 4- â'2 de ces deux équations en x, y n'étant pas-

nul, par hypothèse, ces équations admettent une solution et une seule à savoir

le nombre imaginaire

est, par définition, le quotient de la division de a -+- Si par a'+]3'/.

Lorsque a' et S' sont nuls, les équations précédentes n'ont pas de solution, sauf dans le cas où a et |5 seraient nuls, auquel cas, la solution est entièrement indéterminée. Pour les nombres imaginaires, comme pour les nombres réels, la division par o n'a pas de sens.

La règle donnée plus haut pour évaluer i" s'étend au cas où n

est un entier négatif; en particulier i~i ou -. est égal à — /.

Lorsqu'il s'agit de nombres réels, les propriétés des fractions généralisées (dont les termes sont des nombres réels quelconques) résultent de ce que la valeur d'une telle fraction est le seul nombre qui multiplié par le dénominateur reproduise le numérateur, et des propriétés de l'addition, de la soustraction et de la multiplication : ces diverses propriétés ayant été étendues aux nombres imaginaires, les propriétés des fractions dont les termes sont .des nombres imaginaires s'en suivent immédiatement. Ainsi on peut, sans changer la valeur (définie plus haut) d'une telle fraction, multiplier ou diviser les deux termes par un même nombre, différent de o, etc.

323. — On a dit plus haut qu'un nombre imaginaire x -+- yi, était défini par le couple de nombres réels (x, y). En employant le langage expliqué dans le chapitre précédent, on peut appeler point ce couple de nombres réels ; la partie réelle x est l'abscisse, le coefficient y de i est l'ordonnée de ce point. Le nombre imaginaire x -+- yi est dit Yaffixe du point dont les coordonnées sont x, y; on dit que le point (x, y) représente le nombre imaginaire x -t- yi. Dans bien des cas, il est commode de confondre le point et l'affixc, de dire le point x -+- yi pour dire le poinl dont les