CHAPITRE X. NOMBRES IMAGINAIRES

coordonnées sont x, y. En ce sens, le point o est l'origine des coordonnées. Quand y est nul, c'est-à-dire quand le nombre imaginaire x -h yi se réduit à un nombre réel, ce nombre est représenté par un point de l'axe des abscisses, que, pour cette raison, on appelle aussi axe des quantités réelles, ou plus brièvement axe réel : J'emploierai les termes un peu incorrects axe positif, axe négatif pour désigner les demi-droites sur lesquelles sont situés les points qui représentent respectivement les nombres positifs et les nombres négatifs.

Un nombre purement imaginaire yi est représenté par un point situé sur l'axe des ordonnées, ou axe des quantités purement imaginaires, ou encore axe imaginaire , par un point situé au-dessus de l'axe des abscisses, ou au-dessous suivant que -y est positif ou négatif. Je dirai, suivant les cas, que ce point est situé sur l'axe des ordonnées positives ou sur l'axe des ordonnées négatives.

Il va de soi que cette représentation géométrique peut être regardée soit comme un simple mode de langage, soit comme une représentation géométrique véritable, si l'on attribue une réalité au plan, aux points, ... Elle fournit pour l'emploi des nombres imaginaires des figures qui sont extrêmement utiles pour s'orienter.

Au lieu de représenter le nombre imaginaire x -f- yi par un point A, on peut le représenter par le vecteur OA dont l'origine est l'origine des coordonnées (ou le point o), et l'extrémité le point A ou x -h iy. Il est souvent commode de dire d'un vecteur quelconque qu'il représente un nombre imaginaire : on entendra que ce nombre est représenté par le vecteur OA, équipolleur au vecteur considéré, dont l'origine est le point o.

La longueur du vecteur OA, ou la distance du point x -+- yi à l'origine des coordonnées, est ce qu'on appelle la valeur absolue ou le module (') du nombre imaginaire x -f- yi- Ainsi la valeur absolue d'un nombre imaginaire est la racine carrée arithmétique de la somme des carrés de la partie réelle et du coefficient de i dans ce nombre. La valeur absolue est un nombre essentiellement positif, sauf dans le cas où le nombre imaginaire considéré est nul, auquel

(') Il me paraît désirable de rejeter cette dernière expression, dans ce sens. Le mot module a déjà, en mathématiques, trop de significations diverses, en dehors de celle-là.

2 5û INTRODUCTION A LA THEOME DES FONCTIONS

cas sa valeur absolue est nulle : lorsque le nombre imaginaire se réduit à un nombre réel, la valeur absolue a la même signification que dans la théorie des nombres réels. La valeur absolue d'un nombre purement imaginaire est la valeur absolue du coefficient de i dans ce nombre.

La valeur absolue d'un nombre réel ou imaginaire z se représente par \z\.

\Jarf)iiment d'un nombre imaginaire x -h yi, représenté par le

point A, est l'une quelconque des A"aleurs de l'angle dont le premier côté est la direction positive de l'axe des abscisses et le second côté la demidroite qui a la même origine et le même sens que le vecteur OA ; cet argument est déterminé à un multiple entier de 2tî près.

Lorsque le nombre x -+- yi se réduit à un nombre réel, c'est-àdire lorsque y est nul, son argument peut être pris égal à o si x est positif, à — - ~ ou à % si x est négatif; l'argument d'un nombre

purement imaginaire yi peut être pris égal à -h - ou à — - suivant que y est positif ou négatif.

L'argument de o est radicalement indéterminé.

La valeur principale de l'argument ou l'argument principal) du nombre x -r- yi est celui des arguments qui est compris entre — tc et -h 7T ; elle est entièrement déterminée lorsque x H- yi n'est pas un nombre négatif ou nul.

La valeur absolue et l'argument peuvent être encore définis comme il suit :

Etant donné le nombre imaginaire x + iy, ou les nombres réels x, y, il existe un nombre positif 0 et une infinité de nombres 0 formant une progression arithmétique dont la raison est 2tt, qui vérifient les deux équations

p cos 0 = .7-, p sîn 0 = y ;

0 = v/x2 -t- y- est la valeur absolue du nombre imaginaire x -+- yi : cette valeur absolue étant déterminée, el étant supposée différente de o, l'angle 0 est déterminé, à 2 t. près, par lis formules con-