CHAPITRE X. SOMBRES IMAGINAIRES

cordantes

cos 0 = - sin 0 = -

qui entraînent

tg0 = -r-

Il suit de là qu'un nombre imaginaire x H- yi dont la valeur absolue et L'argument sont respectivement o et 6 peut s'écrire

p (cos 0 -+- i sin 0) ;

c est la. forme trigonométrique d'un nombre imaginaire. Inversement, pourvu que o soit positif, cette forme représente un nombre imaginaire dont la valeur absolue est p et l'argument Q, ou 5 augmenté de tel multiple entier de i ~ que l'on voudra.

Pour que deux nombres imaginaires soient égaux, il faut et il suffit que leurs valeurs absolues soient égales et que leurs arguments diffèrent d'un multiple entier de 2 ~.

A chaque nombre imaginaire x -+■ yi correspond le nombre imaginaire x — yi qui est dit conjugue du premier ; celui-ci est le conjugué du second. Deux nombres imaginaires conjugués sont distincts, sauf dans le cas où ils se réduisent à un nombre réel. Ils sont représentés par deux points symétriques par rapport à l'axe des abscisses ; ils ont même valeur absolue ; leurs arguments sont symétriques.

Deux nombres imaginaires symétriques sont représentés par deux points symétriques par rapport à l'origine.

324. — Si les points A, 'Jig. 25) A' représentent respectivement les nombres imaginaires a -h Çii, al -+- fti, la somme de ces deux nombres sera représentée par l'extrémité du vecteur OA" somme géométrique des vecteurs OA, OA'. La différence flH-jSi — (a'-t-jSï; sera représentée par le vecteur qui va du point A . dont l'affixe est le nombre à retrancher s/1 -+- |3ï, au point A d'afffxe ce -h Si, ou encore par l'extrémité A'" d'un vecteur partant du point 0 et équipollent au vecteur A' A.

En particulier les longueurs des vecteurs OA", AA sont les va-

leurs absolues de la somme et de la différence des nombres a -t- pi, rjj -+- |3ï.

La valeur absolue de la somme ou de la différence de deux nombres est au plus égale à la somme des valeurs absolues, et au moins égale à la différence des valeurs absolues de ces deux nombres.

Si l'on considère les deux nombres imaginaires

p (cos 9 + i sin 9), p' (cos G' + i sin 0')

dont les valeurs absolues et les arguments sont respectivement q, 6, p', 6', leur produit est

pp' (cos 9 H- i sin 9) (cos 9' -+- i sin 9') = pp' [cos 9 cos 9' — sin 9 sin 9' -+- i (cos 9 sin 6' -+- cos 9' sin 9)| = pp' [cos (9 -4- 9') + i sin (9 -+- 6')].

Ainsi la valeur absolue du produit de deux nombres imaginaires est le produit des valeurs absolues de ces deux nombres ; l'argu-

Fis. 25.

Fig. 26.

ment du produit de deux nombres imaginaires est la somme des arguments de ces deux nombres ; les propositions s'étendent immédiatement au produit de trois, quatre, ..., facteurs.

La proposition relative à la valeur absolue d'un produit fournit évidemment une nouvelle démonstration de ce qu'un produit de nombres imaginaires ne peut être nul que si l'un des facteurs est nul.