CHAPITRE X. — NOMBRES IMAGINAIRES
Le produit de deux nombres conjugués est le carré de la valeur absolue de l'un ou l'autre de ces nombres.
Le produit de deux nombres imaginaires ne peut être réel que si la somme de leurs arguments est un multiple de ~.
La multiplication du nombre imaginaire que représente le point A', parle nombre imaginaire que représente le point A (Jîg. 26) peut s'interpréter comme il suit. On fait tourner autour du point 0 le vecteur OA' d'un angle égal à l'argument du vecteur OA ; sur la direction ainsi obtenue on prend un point A" tel que la longueur OA" soit égale au produit des longueurs OA, OA'. On peut dire encore que le point A" s'obtient en construisant sur OA' un triangle OA'A" directement semblable au triangle OLA, dont le sommet U est le point d'affixe 1.
En particulier la multiplication d'un nombre par i, ou par — i, revient à faire tourner autour de 0 le vecteur qui représente le
TU
nombre de l'angle + , ou
DJ
Du théorème sur le produit de deux nombres résulte le théorème que voici sur le rapport.
Le rapport de deux nombres imaginaires a pour valeur absolue le rapport des valeurs absolues de ces deux nombres et pour argument la différence entre les arguments de ces deux nombres. L'argument du rapport des deux nombres représentés par les points A', A 'est l'angle dont il faut faire tourner le vecteur OA pour l'amener sur le vecteur OA'.
Le théorème sur la multiplication appliqué à m facteurs égaux à cos Q H- i sin Q donne la formule de Moivre
(cos 8 -+- i sin G)m = cos m8 -h i sin mB,
qui peut, si l'on veut, être regardée comme un cas particulier de la formule
(cos 8j.-t- i sin Gj) (cos 82 -+- i sin 82) ... (cos G.m + i sin 8(l!) = cos (9, + û2+ ... H- Gm) -+- i sin (0, -+- G2 + ... + 8,„).
En développant (cos Q -+- i sin 9)m par la formule du binôme, et tenant compte des valeurs de r, i'3, i\ ..., puis égalant dans les deux membres les parties réelles et les parties imaginaires, on
trouve des démonstrations immédiates des formules
cos mG = cosu 8 - ■ cos"1-- 0 sin- 0
m (m — i) (m — 2) (m — 3) ,„ . A . , ft
-f- v '—S — ■ J\ 1 cos'"-* 6 sin*0-f-...
= cos'" 8 1 v '- 12-28 -\ ^ ^ — ~-+ ' t°-4 6 -h • • • •
sm 7?î6 = cos'"-1 0 sin 6 * — — '-% '- cos'"-30 sm38 4- ...
= cos'" 8 [- tg 0 1 n^~ tg" 6 + ...J.
déjà utilisées au n° 197. De même la formule générale fournit les relations
cos (8, H-82-h ... -f-6m)= cosSj cos 6,... cos 0,„ (t — S^H-Sj, — Sa + ...) sin (8j -t- 62 -h ... -h 8m) = cos Bt cos 0 2 ... cos 6m (Sj — S3 -h S,; — ...)
où Sj, Sâ, S3, ... désignent la somme de tg 0{, tg 02, . .., tg 0in, la somme des produits deux à deux, trois à trois, ... formés avec les mêmes quantités.
En réunissant les théorèmes relatifs aux valeurs absolues d'une somme et d'un produit, on obtient la proposition suivante :
La valeur absolue d'une somme de produits de nombres imaginaires est inférieure ou égale à la somme des produits des valeurs absolues de ces nombres.
Ou encore :
Si l'on considère un polynôme dont les coefficients soient tous positifs, et si l'on remplace dans ce polynôme les variables par des nombres imaginaires, la valeur absolue du résultat est au plus égale au nombre positif obtenu en remplaçant les variables par les valeurs absolues des nombres imaginaires qu'on leur avait d'abord substitués.
On n'a considéré jusqu'ici que des opérations rationnelles elïec tuées sur des nombres imaginaires.
325. — La recherche de la racine nième d'un nombre imaginaire a -h fli, c'est-à-dire d'une solution, par un nombre imaginaire, de l'équation
xn = a 4- p/,
