CHAPITRE X. SOMBRES IMAGINAIRES 2.JO

peut être regardée comme un cas particulier de la recherche des racines d'une équation dont le premier membre est un polynôme, racines dont l'existence est affirmée par le théorème fondamental de l'algèbre, mais la considération de l'argument permet d'obtenir immédiatement le résultat.

Soient en effet r et 9 la valeur absolue et l'argument du nombre donné a H-jS/, p et w la valeur absolue et l'argument du nombre cherché : on doit avoir

pn (cos no) -i- i sin mo) = r (cos 6 — i — t sin 0),

d'où

on = r, ni<y = 6-i-2 frit,

k étant un nombre entier arbitraire ; on en conclut & = J/r en donnant au radical sa signification arithmétique, puis w = —

<et

r 0 -+- 2kn . . 8 + 2/v--|.

x = Jr \ cos - -+- i sin i

x est susceptible de n valeurs que l'on obtient en donnant à k n valeurs incongrues suivant le module n, c'est-à-dire telles que la différence entre deux quelconques d'entre elles ne soit pas divisible par n, par exemple les valeurs o, i, 2, ..., n — i ; les n valeurs de x sont figurées par n points situés sur le cercle de centre o et de rayon égal à %r, formant les sommets d'un polygone régulier de n côtés. La valeur absolue de la différence entre deux d'entre

elles est au moins égale à i nJr sin — . On peut les obtenir en multipliant l'une d'elles, par exemple

i sin -

fr (^cos

par les n nombres distincts

2 k- . . 2 frit

cos \- i sin

qui sont les racines de l'équation binôme

xn — i = o, et que l'on appelle racines niêmes de l'unité.

On observera que les racines nièmes de a H- fii peuvent s'écrire "/■ ( cos — f- i sin j en désignant par 0 l'un quelconque des arguments de a h- |Si. Si l'on choisit cet argument, la racine, en un certain sens, est déterminée par cela même ; c'est, comme on le verra, une convention qu'il est souvent commode de faire.

326. — La considération des ensembles de nombres imaginaires se confond en quelque sorte avec la considération des ensembles de points qui représentent ces nombres : les mots ensemble borné, point d'accumulation, ensemble clos, ensemble parfait s'entendront comme il a été expliqué au n° 282.

On peut considérer de même une suite infinie de nombres imaginaires (ou de points) zlf z2, ..., zn, ■ ■■ ', dire que cette suite a pour limite le nombre imaginaire Z, ou que zn admet, pour n infini, Z pour limite, écrire

lim. zn = Z,

cela signifie que, quelque petit que soit le nombre positif e, il lui correspond un nombre naturel p tel que l'on ait, sous la condition n >- p,

ou encore que le point zn a pour limite le point Z, ou encore que la distance entre le point Z et le point zn a pour limite o, quand n augmente indéfiniment. Si l'on suppose que l'on ait

zn = xn -+- yni, Z = X -+- Yf,

en désignant par xn, Jn, X, \ des nombres réels, cela revient à dire que l'on a

lim. xn = X, lim. v„ = Y.

n = oo n = oc

Pour que la suite zv z.v ... :n, ... ait une limite, il faut et il suffit que, à chaque nombre positif s, corresponde un nombre naturel n tel que l'on ait

! zp - zq |< s .

pourvu que les nombres naturels /), q soient plus grands que //.