CHAPITRE X. .NOMBRES IMAGINAIRES

Si l'on a

lim. zn = Z,

il est clair, à cause de la continuité de la fonction \.'x- + y2, que Ton a

lim. | zn | == | Z | .

On reconnaît de même que, dans le cas où Z n'est pas nul, l'un des arguments de zn a pour limite un argument de Z.

On dit que zn tend vers oc , ou vers le point oo , et l'on écrit

lim. Z„ = oo ,

n = oc

pour dire que la valeur absolue de zn tend vers -+- oo quand m augmente indéfiniment (n° 60). L'expression o le point oo » provient d'une interprétation de la représentation géométrique d'un nombre imaginaire dont je dirai un mot, en employant d'ailleurs le langage géométrique avec sa signification vulgaire.

327. — Considérons une sphère, dont le rayon, si l'on veut, sera très grand, tangente à l'origine des coordonnées au plan qui sert à représenter les nombres imaginaires : le lecteur pourra se représenter cette sphère comme étant au-dessous du plan. Soit 0' l'extrémité du diamètre de la sphère qui passe par le point 0, origine des coordonnées.

A chaque point A du plan on peut faire correspondre le point Aj île la sphère où celle-ci est rencontrée par la droite qui joint le point 0' au point A; inversement on peut faire correspondre au point Ai de la sphère le point A du plan : ce mode de correspondance est bien connu du lecteur sous le nom de projection stéréographique : remarquons que le point O' de la sphère n'a pas de correspondant dans le plan.

Ceci posé, au lieu de prendre le point A comme représentant d'un nombre imaginaire x -+- yi on peut tout aussi bien prendre le point Al5 sa perspective sur la sphère. Dès lors, quand la valeur absolue du nombre x -h yi est très grande, en d'autres termes, quand le point (x, y) du plan est très éloigné de l'origine, il est clair que sa perspective sur la sphère est très voisine du point 0' ;

Tanneby 11. — Introduction à la Théorie des fonctions \1

tous les nombres dont la valeur absolue est très grande sont ainsi représentés par des points de la sphère très voisins du point 0', qui peut être regardé lui-même comme la limite de la représentation sur la sphère d'un nombre imaginaire donc la valeur absolue grandit indéfiniment. Au lieu du point 0', on dit le point oc . On comprend dès lors l'origine de ces façons de parler « la variable, ou le point x -+- yi tend vers le point go ou s'approche du point co ».

Sans me servir, dans ce qui suit, de la représentation sphérique des nombres imaginaires, je conserverai ces façons de parler, qui sont commodes, pour dire simplement que \z'x% -+- y2 augmente indéfiniment. Cette façon de parler d'ailleurs se justifie d'une autre l'aron :

Nous aurons souvent l'occasion de faire correspondre au point Z == x -+- i y du plan le point

z x -f- iy x'1 -+■ y2 x'1 -+- y'1 '

Le point 7 se déduit du point z par la construction suivante : on

prend d'abord le symétrique z' du point z par rapport à l'axe des abscisses, puis le point inverse du point z' par rapport au cercle de centre o et de rayon égal à 1 ; ce point n'est autre que le

point 7. Sans m'arrêter à ce mode de correspondance sur lequel

j'aurai l'occasion de revenir, on voit qu'à chaque point z du plan,

sauf au point o, correspond un point - du même plan, que lorsque z

est très voisin de l'origine, le point - en est très éloigné, et réciproquement. On supprime les exceptions du langage en disant que u le point zc du plan » et le point o se correspondent par le mode de correspondance défini plus haut. En ce sens, dire que le point z„ = xn -+- iy>i tend vers le point 00 qnand n augmente indéfiniment, c'est dire que le point — a pour limite le point o.

Observons que cette façon de parler « zn tend vers 00 », ou cette façon d'écrire

lim. zn = 00 ,

n = co