On peut considérer des séries

(U) ^ -f- U2 -h ... + Un -+- ...

dans lesquelles les termes sont des nombres imaginaires ; je supposerai que l'on ait en général un = xn -+■ t'y,,. xn et j„ désignant des nombres réels ; une telle série sera convergente si la somme S„ de ses n premiers termes a une limite pour n infini : cette limite sera la somme de la série. Si la somme S» n'a pas de limite pour a infini, ou si elle tend vers ce , la série est divergente. Dire que la série précédente est convergente, c'est dire que les deux séries à termes réels

(X) xi -\- x2 -+- ... -+- xn 4- ...,

(Y) Ji +j2 + ... -hyn -h ...

sont convergentes ; si l'on désigne par X, Y les sommes respectives de ces séries, la somme de la série proposée est X -t- Yi.

Pour que la série (U) soit convergente, il faut et il suffit qu'on

(') Au lieu d'être regardés comme situés sur une droite, ainsi que dans la géométrie projective.

puisse faire correspondre à chaque nombre positif s un nombre naturel n le) que l'on ait

I up -h up+1 -h ... -+■ uq 1 <C £

sous les conditions q ~> p ~> n (n° 56).

On dit que la série (U) est absolument convergente si la série à termes positifs ou nuls

formée avec les valeurs absolues u\, u'.,,..., u'n,... des termes de la la série (U) est convergente. S'il en est ainsi, il est clair que les deux séries à termes réels (X), (\) sont absolument convergentes, puisque les valeurs absolues de leurs termes sont au plus égales aux termes correspondants de la série (U'), et il s'ensuit que la série (U), supposée absolument convergente au sens qu'on vient de dire, est convergente en ce sens que la somme de ses n premiers termes tend vers une limite quand n augmente indéfiniment. Au reste cette conséquence résulterait aussi bien de la règle générale qu'on vient de donner.

Si la série (U) est absolument convergente, les sommes des séries (X), (Y) à termes réels, qui sont elles-mêmes absolument convergentes, ne dépendent pas de l'ordre de leurs termes : il en est donc de même de la somme de la série (U).

La valeur absolue de la somme des n premiers termes de la série absolument convergente (U) est au plus égale à la somme des n premiers termes de la série (U') ; il en résulte que la valeur absolue de la somme de la série (U) est au plus égale à la somme de la série U'.

Le reste d'une série convergente à termes imaginaires se définit comme dans le cas d'une série à termes réels. Si l'on a affaire à une série absolument convergente, il suit de la proposition précédente que la valeur absolue de son reste est au plus égale au reste correspondant de la série (U').

En restant toujours dans les séries absolument convergentes, il est clair que les propositions qui concernent les séries à entrée multiple (nos 105, 106, 107), la règle pour la mulplication des séries (n° 114), fondées uniquement sur des identités formelles qui subsistent que les termes soient réels ou imaginaires, et sur ce fait que