CHAPITRE X. NOMBRES IMAGINAIRES

la valeur absolue d'une somme est au plus égale à la somme des valeurs absolues de ses termes, s'appliquent évidemment dans le cas où les séries ont leurs termes imaginaires.

327. — Les propositions du n° 139 s'étendent, en les modifiant convenablement, aux séries à termes imaginaires.

Considérons une suite de nombres elf £2,... £w, ... tels que la série à termes positifs

(£) J £i — £2 ! -4- I H — h j -h ■'•• + J f*-i — en [ + •••

soit convergente et remarquons d'abord que cette hypothèse entraîne l'existence d'une limite pour e» quand n augmente indéfiniment. En effet dire que la série précédente est convergente c'est dire que la série dont le n[ème terme est (sn — £»+i) converge absolument : or, la somme des n — 1 premiers termes de cette série

est £1 £n.

Ceci posé, considérons, avec la série (U), la série

£i"i + E2"2 H- ... + enUn H- ... 5

On peut en désignant par S„ la somme des n premiers termes de la série (U), écrire

ei H] -h s2u2 + .-. + enu.n= eiSt -4- £2(82 — 8!) + ... +e„(S„ — Sb i) = (ij — h) Si H- {h — h) S2 -h ... -+- (e„i — s») S„t -+- enSn.

Le premier membre aura certainement une limite pour n infini, si les deux quantités (ci — £2) Sx -H ... H- (sn i — s„) SM i et £,iS„ont chacune une limite.

Supposons que l'ensemble des nombres Si, Sa,..., S,,,... soit borné, ce qui arrivera en particulier si la série (U) est convergente; la série

(h — h) Si + (£.2 — e,) So H- ... -h (£„! — e„) S„., + ...

sera convergente et même absolument convergente, comme il résulte immédiatement de l'hypothèse relative à la série h) et de la règle n° 130 ; il suit de là que l'expression

{h — h) St -h (e2 83) SB -h ... + (e«-i — «») Sn t

a une limite pour n infini ; il en est de môme de £nS„, si S„ a une limite pour n infini ou bien si l'ensemble des nombres S,, étant borné, on a lim. e„ = o.

Donc, en supposant convergente la série

I =i — h \ -+■ | e2 — h ) -+- • • • -+- ] En-1 — £n J +

• on peut affirmer la convergence de la série

£1«1 -H E2»2 Tf- ... -f- znun H- ...

i° quand la série

est convergente ; 20 quand la somme des n premiers termes de cette série reste, quel que soit n, moindre en valeur absolue qu'un nombre positif fixe et que l'on a lim. s„ = o (').

n = co

"330. — Le produit infini

■ où an désigne un nombre réel ou imaginaire est dit absolument

n,= ce

convergent si la série 7 a» est absolument convergente, c'est-à-

dire si la série à termes positifs ou nuls

o'i +«2+ • • • + ai, + • • •

■ où l'on a posé a'n = j an \ est convergente.

(') Ces deux propositions sont dues à M. Dedekind, qui les a données dans ses Vorlesungen Dlrichlets iiber Zahlenthoerie . Voir clans le tome XXXVI des Sitzungsberichle de l'Académie des Sciences de Bavière un Mémoire de M. Landau Vber die Grundlagen der Théorie der Fakultàtenreihen, d'où je les ai

- extraites.