CHAPITRE VII. INTEGRALES DEFIMES
où l'on suppose que x appartienne à l'intervalle (a0, a) et que la fonction /(a?) soit bornée et intégrable clans cet intervalle. On a
(x — a0)m < cç (a?) < (a — x) M,
en désignant toujours par m et M les bornes inférieure et supérieure de la fonction f ' (x) dans l'intervalle (a0, a) ; la fonction ■<p (x) est clone bornée dans cet intervalle ; soient (x0, x0 4- h) un intervalle contenu dans (a0, a: et m0, M0 les bornes inférieure et supérieure def(x) dans cet intervalle; la quantité
y (s, + *)-?(«.) = J fX° + hf{x)dx
appartiendra à l'intervalle (m0, M0) ; elle sera au plus égale, en valeur absolue, au plus grand [x des nombres \m\ et |M| ; l'inégalité
|cp(as0 4-/i) — T (^o)l ^ Mf*
montre clairement que la fonction © (as) est continue pour tout nombre x0 appartenant à l'intervalle (a0, a).
Si la fonction f(x) est continue pour x = xa, l'écart de l'intervalle (m0, M0), auquel appartient aussi la valeur de/(a;0) peut être supposé moindre que le nombre positif z, pourvu que l'on ait \h\ << Yt, en désignant par rt un nombre positif, correspondant à s. Sous les mêmes conditions, on aura donc
La fonction (p(x) admet f(x) pour dérivée, en tout point de l'intervalle (a0, a), où la fonction /(a?) est continue. Si cette fonction est continue dans tout l'intervalle, <p(a?) admettra, clans tout l'intervalle, f(x) pour dérivée.
l'intégrale : la notation précédente veut dire la valeur pour z = x de la fonction de z
3o IXTUODUCTIOÎN A LA THEORIE DES FONCTIONS
Il convient, en passant, de faire la remarque suivante : si l'on a «o < ûi < a et sif0(x), fi(os) sont des fonctions continues dans les intervalles (a0, a{), (alf a), mais telle que l'on n'ait pas
une fonction f(x) définie dans l'intervalle (a0, a) par cette condition qu'elle soit dans l'intervalle (a0, aL) constamment égale à f0(x) et, dans l'intervalle (a,, a) constamment égale k fY(x), sauf pour la valeur x = a,, qui lui fait acquérir la valeur /"(Oj) = /0(a]), sera (n° 248) intégrable dans l'intervalle (a0, a") ; dans ce même intervalle, la fonction
= faf(x)dœ
est continue; elle admet pour dérivée f0 (x) dans l'intervalle (a0, a,) et/) (as) à l'intérieur de l'intervalle (ap a) (n° 206); pour a: = c^, elle admet /o^) pour dérivée à droite et f^ [x] pour dérivée à gauche. On voit, sur cet exemple simple, que la continuité de la fonction (û(x) n'entraîne pas l'existence de la dérivée.
Je rappelle maintenant la question posée au début de ce chapitre : Une fonction f[x) étant donnée, dans l'intervalle (a0. a) existe-t-il une fonction donty(œ) soit la dérivée dans cet intervalle ?
Je laisse de côté le cas où la fonction y (se) est discontinue.
Dans le cas où f(x) est continue dans l'intervalle (a0t a), la fonction
fXf(x)d3
admet f(x) pour dérivée dans l'intervalle (a0, a). Toutes les fonctions qui jouissent de la même propriété s'obtiennent en ajoutant à celle-là une constante arbitraire.
Inversement, si l'on connaît une fonction F(œ) définie dans l'intervalle (a0, a) et admettant f(x) pour dérivée, on peut être certain qu'il existe une constante C telle que l'on ait, pour toutes les valeurs de x appartenant à l'intervalle (a0, a ,
nx
F(x) + G= f(x)dx;
CHAPITRF vu. INTÉGRALES DEFINIES 3l
cette égalité devant subsister pour x == «0, il faut que l'on ait
on aura donc
?(*)= fVo*) <**==*>) -F («<>)• Ja0
Par exemple on aura
dx , C dx , x
~ = log X, — = lo°' -
en supposant x positif dans la première égalité, a et x de mêmes signes dans la seconde ;
dx / J dx 5 = arc 1g x, ! 5 =arc tsx — arc t°a,
