CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES 2Ô

dance entre deux ensembles de points, et l'on se trouve avoir répété, avec de légères différences dans le langage et les notations, ce qu'on a dit au début du n° 286. Ce qu'il faut entendre quand on dit que la fonction /(z) est continue en un point d'accumulation de (E) qui appartient à cet ensemble, qu'elle est continue clans tout l'ensemble (E supposé clos, le fait que la fonction est alors uniformément continue dans l'ensemble (E), tout cela a été expliqué au n° 286 ; on y a vu encore que si la fonction f'z) est continue dans l'ensemble clos (E), et si la correspondance entre les ensembles (E), (E') est parfaite, l'ensemble ; E') est clos et la fonction F (zr), inverse de la fonction f(z), est continue dans l'ensemble (E').

Si l'on pose z = x -\- iy, z' = x -\- iy', en désignant par x, y, x'. y' des variables réelles, deux éléments correspondants des ensembles (E), (E') peuvent se représenter par (x, y), (x1, y') et la définition de z' comme fonction de z revient à la définition, dansle même ensemble, de deux fonctions réelles

x' = co (x, y), y' = d, (x, y)

des variables réelles x, y. Si f(z) est une fonction continue en un point d'accumulation z0 ou (x0, j0) de l'ensemble (E) des points (x, y), les fonctions (d(x, y), <\>(x, y) seront continues au point (xQ, y0). Ces mêmes fonctions seront (uniformément) continues dans tout l'ensemble (E), supposé clos, si la fonction /(z) est continue dans cet ensemble ; il en sera de même de la valeur absolue de f(z) ou de la fonction i/x'2 -+- y'2, qui atteint par conséquent son maximum et son minimum pour des points appartenant à (E). Les façons d'écrire que voici

lim./(z) = oo ,

limj(z) = A,

lim. f{z) = go

ont à peine besoin d'explication. La première suppose que la fonction f(z) est définie dans un ensemble (E) dont a est un point d'accumulation; elle signifie que l'on peut faire correspondre à chaque nombre positif P, si grand qu'il soit, un nombre positifs

266 INTRODUCTION A LA TllÉoME DES FONCTIONS

tel que l'on ait {/(*) | > P, pourvu que z appartienne à l'ensemble et que l'on ait j z — «■[<<£ ; la seconde et la troisième supposent que la fonction f(z) est définie dans un ensemble contenant des nombres z dont la valeur absolue est aussi grande qu'on veut, et signifient : la seconde, qu'à chaque nombre positifs, aussi petit qu'on le veut, on peut faire correspondre un nombre positif P tel que l'on ait

sous la condition que z appartienne à l'ensemble et que l'on ait J z ) > P; la troisième, qu'à chaque nombre positif P, aussi grand qu'on le veut, on peut faire correspondre un nombre positif Q tel que l'on ait

sous la condition que z appartienne à l'ensemble et que l'on ait

hl>Q-

En convenant de parler comme si le point go appartenait à l'ensemble (E) et d'attribuer en ce point la valeur V à la fonction f'(z) on peut, au lieu d'écrire lim. f(z) = À, dire que la fonction

f(z) est continue au point go .

Quand on dit d'une fonction/^) qu'elle est continue au point z0 sans parler de l'ensemble des valeurs de z dans lequel la fonction est déterminée, on entend d'une part que la fonction f(z) est déterminée dans les environs du point zQ, c'est-à-dire pour tous les points z qui appartiennent à un cercle de centre r„ et de rayon suffisamment petit, et, d'autre part, que, si on la regarde comme étant définie dans cet ensemble de points, dont le point z0 est manifestement un point d'accumulation, elle est continue en ce point.

Rien n'empêche de prendre pour L'ensemble (E) un lien (T) défini par les formules

X = rj(l), y = h(i), «</<3;

■c'est un ensemble parfait. Définir, dans cet ensemble, la fonction z' == f : , comme une fonction continue, c'est définir x' , y' comme ■des fonctions réelles continues de la variable réelle t dans Tinter-