CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES

valle (a, |3) ; l'ensemble des points -ou x', y') constitue un lien (ï'). En parlant du point / du lien T ou du lien (T') on entend le point de l'un ou de l'autre de ces liens qui correspond à la valeur i du paramètre.

Si z' ne s'annule pour aucune valeur de / appartenant à l'intervalle (a, £), si, en d'autres termes, le lien (T') ne passe pas par l'origine 0 des coordonnées, on pourra, d'une infinité de façons, définir l'argument de z comme une fonction continue de t ; cette fonction sera déterminée si l'on se donne la valeur qu'elle doit prendre en un point t0 du lien (T'), laquelle doit, bien entendu, être une des valeurs de l'argument de z' en ce point. Les autres fonctions répondant à la question s'obtiennent en ajoutant à cellelà un multiple de 2tc. La différence entre les valeurs de l'une -quelconque de ces fonctions pour t = U et i = U, ou, comme l'on dit, la variation de l'argument de z' quand on passe du point i0 au point tt est l'angle, défini au moyen du lien T), dont le premier côté est la direction qui va de l'origine 0 au point /0 du lien (T') et le second côté la direction qui va de l'origine au point ij du même lien n° 292 .

Quand le lien (T) est fermé, il en est évidemment de même du lien (T'), et la variation de l'argument, lorsqu'on passe de l'origine a de ce lien à l'extrémité fl, confondue avec l'origine, n'est autre chose que l'ordre, multiplié par n, du point 0 par rapport au lien (T').

Considérons maintenant une courbe fermée simple (F), le continuum ; G) intérieur à cette courbe et l'ensemble parfait ; C; -f- i") dont les points appartiennent soit à (G) soit à (F) ; prenons cet ensemble parfait pour l'ensemble E ; dire que la fonction

z' = x' + if =/(:) = ? (x, y) + i'b {x, y)

est définie et continue dans cet ensemble, c'est dire que les fonctions réelles ©(a?, y), à(x, y) sont elles-mêmes définies et continues dans cet ensemble. Soit (F') l'ensemble des points z' ou (x', y') qui correspondent aux points de (F); "(F') est un lien fermé; si ce lien ne passe pas par le point 0, ce point admet un certain ordre par rapport à \F'}, qui n'est autre chose, au facteur 2 u près, que la variation qu'éprouve l'argument de z quand le point z décrit une fois la courbe fermée (F). Si cette variation

n'est pas nulle, on peut affirmer (n° 315) que les deux équations

V (*• y) = o, + [x, y) = o admettent une solution (x0, j0) qui appartient au continuum (G) ; on peut tout aussi bien dire que l'équation f(z) = o admet une racine en un point de ce même continuum.

Les définitions et propositions concernant la convergence uniforme des séries ou des produits infinis dont les termes sont des fonctions d'une variable ; 179-186) se transportent sans difficulté au cas d'une variable imaginaire ; je crois inutile d'y revenir ; le lecteur ne peut avoir aucune peine à faire les petits changements indispensables, soit clans le langage, soit dans l'interprétation. Il devra toutefois laisser de côté le n° 184, relatif aux séries entières ; c'est là un sujet très important sur lequel j'insisterai bienlôt.

332. — Au point de vue où je me suis placé dans le précédent numéro, les fonctions de variables imaginaires ne présentent rien de nouveau; on a répété, en changeant un peu le langage, ce que l'on avait dit au n° 286 ; on a parlé d'une fonction d'une variable imaginaire au lieu de parler de deux fonctions (réelles) de deux variables réelles. On ne conçoit guère qu'il puisse y avoir grand intérêt à rester à ce point de vue général. Les fonctions particulières que je vais considérer seront définies, soit dans tout le plan, soit clans certains continuums complétés, ou non, par leurs frontières, de façon à conserver autant que possible les propriétés des fonctions d'une seule variable. Elles rentrent dans la classe des fondions analytiques qui seront définies ultérieurement dans leur généralité.

Par exemple, si l'on voulait rester clans l'ordre d'idées du numéro précédent, il serait naturel, en désignant par x, y des variables réelles, d'appeler fonction rationnelle entière de z = x -h iy, ou polynôme en z, une expression de la forme q(x, y) -+- i<b(x,y), en désignant par <p(œ, y), à(x, y) des polynômes quelconques à coefficients réels en x, y, d'appeler fonction rationnelle de z une expression de la même forme, où a (x, y , di x, y seraient des fonctions rationnelles à coefficients réels, des deux variables x, y; mais, encore une fois, en procédant ainsi, on n'aurait rien de plus qu'en considérant deux polynômes, ou deux fonctions rationnelles en x, y.