CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES 2DQ

On appelle fonction rationnelle entière en : = x + yi, on polynôme en z, une expression de la forme

g(z)=k0z» -hA1?»-' + ... +- A„,

où A0, Al9 ..., A„ sont des nombres réels ou imaginaires ; c'est là aussi une généralisation très naturelle des polynômes à coefficients réels, ne dépendant que d'une variable. Un polynôme du degré n, tel qu'on vient de le définir, peut bien se mettre, en posant z = œ + iy, sous la forme <q (x, y) -+- vb [x, y), où o(x,y), à (x, y désignent des polynômes entiers en x, y à coefficients réels ; mais ces polynômes sont très particuliers, comme on le voit immédiatement en faisant le compte des 2/1+2 coefficients réels qui y figurent, à savoir les 11+1 parties réelles et les r+i coefficients de i dans A0, A, , . . . , A„, tandis que, dans deux polynômes généraux à deux variables, du degré n, il y a (n H- 1 n -b 2) coefficients. Une fonction rationnelle en z sera le quotient de deux polynômes en z ; elle est bien de la forme <p(x, y) -+- ià 'x, y) où © et d; sont des fonctions rationnelles de x, y, mais ici encore © et d; sont des fonctions rationnelles très particulières de x, y, comme on le voit toujours en faisant le compte dus constantes.

Plusieurs propriétés des polynômes réels s'étendent immédiatetement aux polynômes à coefficients et à variables imaginaires.

Tout d'abord un polynôme en z, dont on donne les coefficients, est évidemment une fonction de ; définie pour toute valeur de r, ou, comme on dit, dans tout le plan qui sert à représenter cette variable.

Les remarques du n° 173 sur la continuité au point o, sur la façon d'ordonner un polynôme quand on veut l'étudier aux environs de ce point, sur l'impossibilité qu'un polynôme soit nul pour toutes les valeurs de la variable sans être identiquement nul, sur la condition relative à l'identité de deux polynômes, la proposition d'après laquelle la valeur absolue d'un polynôme dépasse tel nombre positif que l'on veut, pourvu que la valeur absolue de la variable dépasse un nombre positif, convenablement choisi, la notion de la dérivée, de racine simple ou multiple, la continuité en un point quelconque s'établissent exactement comme dans le cas d'une variable réelle. Seules, les propositions concernant le signe

27O INTRODUCTION a la théorie des fonctions

du polynôme, ou son mode de croissance, n'ont pas ici leurséquivalentes.

D'un autre côté, la règle de la division algébrique et ses conséquences s'appliquent sans modification. 11 en est de même des propositions contenues dans le n° 174 et des formes qui permettent d'étudier une fraction rationnelle dans le voisinage de o, d'un point quelconque, pour les valeurs de la variable très grandes en valeur absolue, ou, comme l'on dit, dans le voisinage du point go , du calcul des vraies valeurs d'une fraction rationnelle, ....

333. — Les propositions relatives aux polynômes doivent être complétées par la démonstration du théorème fondamental de l'Algèbre, énoncé au n° 321 sous une forme purement algébrique,, qu'on peut remplacer par la suivante :

Tout polynôme en z, à coefficients réels ou imaginaires,' admet une racine réelle ou imaginaire.

Cette proposition résulte immédiatement des observations qui ont été faites au n° 315.

Considérons en effet, en posant toujours z — x -+- iy, le polynôme en z

z' =/(*) = V" + -V"-1 +■ ••• + An = ?(*. y) + *> (*. y)-

Désignons en général par ak, a/Jk = o, 1, 2, ... 11) la valeur absolue et l'argument du coefficient A*, par r et par Q la valeur absolue et l'argument de z, par r' et 6' la valeur absolue et l'argument de z' , on aura

x! = v' cos 0' = fl0r" cos (?0 + nO) -+- airn~i cos [«,, -l- (n — i)0j + ....

-h an cos a„, r' — r1 sin W — avrn sin (an ■+■ f$) -+- c^r"-1 sin [*, + (n — i)0 -+- ..„

-+- ttn sin yn.

On suppose essentiellement que aQ n'est pas nul. On voit tout de suite que le rapport

pli '

V * + r a C0S ^° — ai + °)