CHAPITRE XI. F0XCT10.NS DE VARIABLES IMAGINAIRES 2yi

est très voisin de a0 quand r est un nombre positif très grand; et que l'on peut par conséquent écrire

cos 0' = cos («„ H- liï) -h s, sin 0' == sin (a0 -+- nfi) -+- -t\ ,

en désignant par s, Y) des nombres réels qui sont aussi petits qu'on le veut, en valeur absolue, pourvu que r soit suffisamment grand ; l'une des valeurs de 6' qui vérifient les équations précédentes est alors très voisine de a0 -f- nS.

Considérons un nombre positif Pi très grand et le cercle (F) de rayon R dont le centre est l'origine 0 des coordonnées. Soit (C) le conlinuum intérieur au cercle F ; si 11 est suffisamment grand, la valeur absolue du polynôme z est elie-mème très grande sur (F) et pour les points extérieurs à F ; en particulier z ne s'annule pour aucun point de (F). Si Ton fait croître rj de o à 2 n, le point

z — R(cos 0 4- i sin 0)

décrira le cercle (F) dans le sens direct, et le point correspondant z' décrira un lien fermé correspondant V ; d'après ce qu'on vient de dire, on peut prendre pour l'argument 0' de z' une valeur voisine de a0 + n9 ; cet argument 6', ainsi défini, sera une fonction continue de 0; quand le point z décrit F) da'is le sens direct, la variation de l'argument de z' est alors voisine de in~; elle est exactement égale à 2 niz puisqu'elle doit être un multiple de 2~; l'ordre du point o par rapport au lien fermé F' est n. La fonction f(z) s'annule donc pour un point intérieur au conlinuum (G).

Ainsi qu'on le sait, il résulte de là très aisément que le polynôme f(z) admet n racines, en comptant chaque racine autant de fois qu'il y a d'unités dans son ordre de multiplicité ; si l'on désigne par zv, z±, ..., zp les racines distinctes de /;: etpara,,. a2, ..., a.p leurs ordres respectifs de multiplicité, on a. idenliquenient en z,

Inversement, une pareille identité exige que Zi-, z.,, ... , zp soient les racines de f(z) et a,, «*, ..., u.}) leurs ordres de multiplicité ; les

■nombres zi} z2, ... zv, an a.., ... ap sont clélcrminés quand on se donne les coefficients A0, A,, ..., An. Si ces coefficients sont réels, à chaque racine imaginaire (non réelle), correspond une racine imaginaire conjuguée avec le même ordre de multiplicité. 11 est maintenant aisé d'établir la proposition suivante.

334. — Soit (F) une courbe fermée simple qui ne passe par aucun des points zif :.2, ..., zp\ la variation de l'argument de /(z) , quand le point z décrit une fois la courbe (F) dans le sens direct est égale au produit par i~ du nombre de racines de l'équation f (z) = o situées à l'intérieur de (F), chacune des racines étant comptée autant de fois qu'il y a d'unités dans son ordre de multiplicité.

En effet, considérons d'abord le cas simple où (F) est un cercle décrit de l'une des racines comme centre, de z{ par exemple, et qui ne contient ni à son intérieur ni sur sa circonférence aucune autre racine.

Partons de la formule qui donne la décomposition de f(z) en facteurs ; l'argument de f[z) doit être défini comme une fonction continue sur le cercle; on peut, pour cela, le regarder comme la somme des arguments des facteurs, pourvu que ces arguments soient •eux-mêmes des fonctions continues sur le cercle. La variation de

l'argument de f{z), quand le point z décrit le cercle (une fois est la somme des variations des arguments des facteurs ; parmi ces facteurs, on n'a pas à tenir compte de la constante A. La variation de l'argument de z — z., est l'angle décrit par la direction qui pj va de z2 à z quand z décrit le cer-

cle ; cet angle est manifestement nul ; la variation des arguments des facteurs [z — ~2)a-', (z — Zs)*3, . . . est nulle ; au contraire l'angle que décrit le rayon qui va de z, à z est égala 2 7ï quand le point z décrit le cercle dans le sens direct; la variation du facteur (z — Z])0'1 est 2 nv.\ ; dans ce cas particulier, la proposition est établie.

Considérons maintenant une courbe fermée simple [F) conte-