Une fonction rationnelle de z
est le quotient de deux polynômes en z, o(z) et <b{z). Il est clair qu'une telle fonction est continue pour chaque point z, sauf pour ceux qui annulent à(z), lesquels d'après le théorème fondamental de l'algèbre, sont en nombre fini. Soit a un tel point.
On a vu au n° 174 comment on pouvait étudier la fonction ",--{
aux environs du point à, comment en particulier cette fonction avait une vraie valeur lorsque a était une racine commune à (û{z) et àd»(z), d'ordre de multiplicité dans ©(2) au moins égal à l'ordre de multiplicité dans à (z) ; il est assez naturel d'attribuer alors à la fraction rationnelle cette « vraie valeur » pour z = a : lorsque a n'est pas racine de o {z , ou est pour œ (z) une racine d'ordre de multiplicité moindre que pour di r , la fraction ration-
Tasnkry II — '-Introduction à la Théorie des fonction? 18
2 74i .INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS
nelle se met sous la forme
A Ai ^^l± i ?*(z)
où A, Ai,... Aa j sont des constantes réelles ou imaginaires et où !p, (z), tyi(z) sont deux polynômes en z dont le second ne s'annule plus pour z = a ; cetle formule montre de suite que la valeur absolue de la fraction augmente indéfiniment quand ce point z s'approche du point a ; en d'autres termes, on peut écrire
li m. -)-; — oo .
Lorsqu'une fonction rationnelle peut être mise sous une telle forme, on dit que le point a est un pôle d'ordre de multiplicité a de cette fonction, un pôle simple si a est égal à i. Le coefficient Aa j qui joue un rôle très particulier, comme on le verra plus tard, s'appelle le résidu de la fonction relatif au pôle a.
Si l'on convient toujours d'attribuer à une fonction rationnelle
~r-7-y sa vraie valeur, lorsqu'elle en a une, rien n'empêche de
supprimer d'abord les facteurs communs au numérateur et au dénominateur, en d'autres termes de regarder <p(z) et dv(zj comme des polynômes premiers entre eux ; les seuls pôles de la fraction sont alors les racines du dénominateur, et l'ordre de multiplicité d'un pôle a est l'ordre de multiplicité a de a regardé comme racine de ty (z) ; dans ce même cas, ty\ (z) est égal au quotient de la division de d» (z) par (z — a a.
336. — La définition de toute fonction y =f(x) de la variable imaginaire (x) (*) équivaut à une correspondance entre le point x et le point y, le premier étant naturellement assujetti à rester dans l'ensemble (E) où la fonction f(x) est définie. Il sera bon de se rendre compte de la nature de cette correspondance, pour quel-
(') Jusqu'ici lorsqu'il s'agissait d'une variable imaginaire les lettres x, y étaient employées pour désigner la partie réelle et le coefficient de i de cette variable, ou, si l'on veut, les coordonnées'du point dont la variable était l'afïïxc. J'abandonne cette habitude, et j'emploierai aussi bien les lettres ./■, y pour désigner des variables imaginaires quelconques.
