CHAPITRE XI

FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES

ques-unes des fonctions de variable imaginaire déjà définies. Il peut être commode de se figurer les variables x, y comme représentées dans des plans distincts, le plan des x et le plan des y ; parfois aussi, il est commode de se figurer ces deux plans comme coïncidants.

Si la fonction fix) est un polynôme, elle est définie dans tout le plan ; à chaque point du plan des x correspond un point du

plan des y. Si la fonction y = rj-< est une fonction rationnelle

ou le quotient de deux polynômes, que l'on peut supposer premiers entre eux, elle est définie pour tous les points du plan des x, sauf pour ses pôles, où l'on peut dire qu'elle est infinie. Ces pôles sont en nombre fini.

Si l'on considère la iunction y = x -+- a, où a est une constante, et si l'on figure le point a, on voit que cette fonction fait correspondre à chaque point x un point y, extrémité d'un vecteur ayant le point x pour origine et équipollent au vecteur qui a pour origine le point o et pour extrémité le point a. En d'autres termes le point y correspondant à x se déduit de ce dernier par une translation égale à ce vecteur.

Soit maintenant y = ax, et supposons d'abord a réel. La correspondance entre le point x et le point y est une homothétie dont le

Fi*. 28.

Fie-. 3o.

centre sera le point o et le rapport le nombre a ; l'homothétie est directe ou inverse suivant que a est positif ou négatif.

Si a = r(cos Q -h i sin 9) est imaginaire, ou pourra remplacer la relation y = ax par les deux relations

x = rx

y — œ'(cos 8 -+- i sin 6).

La première fera correspondre au point x le point x' par homothétie directe. La seconde fera correspondre au point x' le point qui s'en déduit en faisant tourner de l'angle 6, autour du point o, le vecteur qui part de ce même point et aboutit au point x'. Il est clair que la correspondance entre y et x est une correspondance par similitude. Le point o est le centre de similitude.

Soit y — ax -+- b ; on substituera à cette relation, les deux suivantes

x' = ax , y = x' -f- b

qui définissent deux correspondances déjà étudiées ; il est clair, d'après cela, que la correspondance définie par l'égalité y = ax-\-b est une correspondance par similitude. C'est la correspondance par similitude directe la plus générale possible, si l'on ne fixe pas les

constantes a, b. Le centre de similitude est le point — •

On a dit déjà quelques mots (n° 327} de la correspondance définie par la relation y = : considérons d'une façon plus générale la relation y = - et supposons d'abord que a soit positif.

On déduira le point y du point x de la façon suivante : on décrit du point o comme centre un cercle de rayon égal à \/a, et on prend le point x' symétrique (*) du point x par rapport à ce cercle, puis le point y symétrique du point x1 par rapport à l'axe des abscisses ; ces deux opérations peuvent d'ailleurs être interverties.

Si a = r (cos m H- i sin &)) est imaginaire, on remplace la relation y==- par les deux relations

x = x (cos ta H- ( sin ta) , y = —

dont la première revient à une rotation autour de l'origine, la seconde à une symétrie par rapport à l'axe des abscisses suivie

(Jj C'est-à-dire un point situé sur la demi-droite qui part du centre et qui contient le point x, de manière que le produit des distances des points x, x' au centre soit égal au carré du rayon du cercle. Le point x' peut être aussi regardé comme le second point commun à tous les cercles passant par le point x et orthogonaux au cercle donné. Cette définition s'appliquerait encore si le dernier cercle était remplacé par une droite et conduirait alors à la symétrie ordinaire.