CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES

d'une symétrie par rapport à un cercle de rayon \/r ayant son centre à l'origine. La rotation autour de l'origine et la symétrie par rapport à l'axe des x reviennent à une symétrie par rapport à une droite convenable passant par l'origine. On déduit de là aisément, en remarquant que la transformation y = - laisse inaltérés

les deux points \/a et — \/a, que cette transformation revient à une symétrie par rapport à la droite qui joint ces deux points, suivie d'une symétrie par rapport au cercle décrit sur cette droite comme diamètre.

Une telle transformation change en cercles les cercles et les droites qui ne passent pas par l'origine, elle change en droites les cercles et les droites qui passent par l'origine.

Soit la fonction

ba'

ab'

où l'on suppose a' et ba — ab' différents de zéro ; on remplacera la transformation précédente par les transformations suivantes

ba' — ab' i

dont la première est une translation, la seconde une symétrie par rapport à une droite suivie d'une symétrie par rapport à un cercle, la troisième encore une translation ; cette décomposition montre que la transformation proposée, d'une part n'altère pas les angles, d'autre part change les droites et les cercles du plan des x en droites ou en cercles dans le plan des y. Si on convient de regarder les droites d'un plan comme des cercles qui passent par le point oo de ce plan, on dira que la transformation considérée change les cercles en cercles ; il en est évidemment de même de la transformation inverse

a y H- a qui est de même nature que la proposée.

La propriété de la transformation considérée de changer les cercles en cercles résulte aussi de la relation

J — Ji . Js — Ji x

y — y-2 .73 — y-* x — x.2 x3 — xt ,,

qui lie évidemment quatre points x, xlf x2, xs à leurs correspondants y, )'i, y2, J3î notons, en passant, que cette relation prouve que la transformation considérée est déterminée quand oii se donne trois points xif x2, x3 et leurs correspondants y1? y-2, y 3. Elle montre, en considérant les valeurs absolues des rapports qui figurent dans les deux membres, que si le point x décrit un cercle tel que le rapport des distances d'un point quelconque de ce cercle aux deux points fixes Xi, x%, soit constant, c'est-à-dire un cercle appartenant au faisceau dont les points xi} x.2 sont les points limites (au sens de la géométrie des cercles), le point y décrira un cercle tel que le rapport des distances d'un quelconque de ses points aux points yi, y2 soit aussi constant, c'est-à-dire un cercle appartenant au faisceau de cercles dont les points y{, y 2 sont les points limites. La même relation, en considérant les arguments au lieu des rapports, et en se rappelant les théorèmes de géométrie sur les angles inscrits, montre que, si le point x décrit un cercle passant par les points Xi, X2, le point y décrira un cercle passant par les points jx, y2- On voit ainsi que la transformation considérée change un faisceau de cercles en un faisceau de cercles, deux faisceaux de cercles tels que les cercles du premier faisceau soient orthogonaux aux cercles du second faisceau, en deux faisceaux qui jouissent de la même propriété ; cela résulte aussi du principe de la conservation des angles, en vertu duquel il est clair que deux cercles orthogonaux doivent se changer en deux cercles orthogonaux. La figure formée par un cercle et deux points symétriques par rapport à ce cercle se change en un cercle et deux points symétriques par rapport à ce cercle.

Au point 00 du plan des x correspond le point —, du plan des y ; les droites du plan des x ont pour transformées des cercles du plan

des y qui passent par le point -7; le point -, du plan des x a

pour correspondant le point 00 du plan des y ; les cercles du