X2 ° Ja I -h .T

quels que soient a et x; Cx dx

= arc sin x — arc sin a,

en supposant a et x compris entre — i et -h i .

Je rappelle que les valeurs des fondions arc tgx, arc sin x appartiennent toujours à l'intervalle ( — -» -].

On désigne souvent par le symbole

jf(x)dx

la fonction primitive de la fonction f(x) ; la valeur de ce symbole n'est déterminée qu'à une constante près. On lui donne le nom d'intégrale indéfinie. On peut le regarder comme une intégrale définie dont la limite supérieure serait x et la limite inférieure arbitraire.

On écrit par exemple

arctgaj, I cos x dx = sin x, etc. ..

C'est l'objet de l'un des chapitres du calcul intégral que de faire connaître des classes très étendues de fonctions f{x) dont on peut obtenir les fonctions primitives exprimées au moyen des fonctions algébriques, des fonctions ex, \ogx, tgx, arc tgx, ... et des combinaisons de ces fonctions ; un autre problème, qui peut donner lieu à des développements indéfinis, est le suivant : des propriétés de la fonction donnée f[x) déduire les propriétés de la fonction

Jfx f(x)dx;

on peut, par exemple, chercher à retrouver les propriétés de la fonction logarithmique en partant de la définition

, idx

logx=ji -,

et l'on comprend comment la fonction logarithmique, si elle n'avait pas été connue avant l'invention du calcul intégral, se serait introduite d'une façon nécessaire pour répondre à cette question : quelle est la

fonction dont la dérivée est - ? la fonction logarithmique aurait

ensuite conduit à la fonction erdont elle est la fonction inverse ; on pourrait en dire autant des fonctions arc tg x et tg x, etc. On conçoit ainsi comment le problème posé au début de ce chapitre conduit inévitablement à la définition de nouvelles fonctions transcendantes. L'étude des propriétés de ces fonctions, des relations qu'elles ont entre elles ou avec les fonctions précédemment connues, a, dans le siècle précédent, conduit à des résultats considérables, dont il est impossible de prévoir le terme.

252. — On a déjà en plusieurs fois l'occasion de s'appuyer sur ce fait que, si l'on suppose la fonction f{x) finie et susceptible d'intégration dans l'intervalle (a0, a), la valeur de l'intégrale

J — I j{x)dx

appartient à l'intervalle [m [a — a0), M (a — a0)], en désignant par M et m les bornes supérieure et inférieure de la fonction fix) ; il