CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES
plan des x qui passent par le point — — ont pour transformés
des droites du plan des y, les droites du plan des x qui passent
b' par le point — — du plan des x ont pour transformées des droites
du plan des y qui passent par le point -7. Soient Cx un cercle du
plan des x et Cy le cercle correspondant du plan des y. Le centre du cercle Cy est le point correspondant, dans le plan des y, du
b' point du plan des x qui est symétrique du point — -7 par rapport
à Gx. Si le cercle Cx contient à son intérieur le point — -7, l'intérieur du cercle Gx a pour transformé l'extérieur du cercle C,,, etc.
337. — Dans les correspondances précédemment étudiées, à deux points distincts du plan des x correspondent deux points distincts du plan des y. La correspondance entre les deux plans est parfaite, si toutefois on convient de parler du point 00 d'un plan comme d'un point proprement dit. Il n'en est plus de même pour une correspondance telle que celle qui est définie par l'égalité y = x-. Il est clair qu'aux points x et — x ne correspond qu'un point du plan des y.
L'ensemble des points x- recouvre deux fois le plan des y. Inversement il faut et il suffit que deux points x, x' soient symétriques par rapport au point o pour qu'ils aient même correspondant y.
J'insisterai un peu sur la correspondance entre x et y, et sur la définition de \Jy : c'est que les considérations sur lesquelles est fondée cette définition, se retrouvent dans une foule de cas, avec quelques différences que le lecteur reconnaîtra de lui-même.
Ne considérons (Jig- 3i) que le demi-plan des x qui est à droite de l'axe des ordonnées ou, si l'on veut, les points x pour lesquels la partie réelle de l'affixe est positive : il est clair que deux points distincts decedernier plan auront pour correspondants dans le plan des y des points distincts ; il n'y a exception que pour les points mêmes de l'axe des ordonnées qui ont leurs correspondants sur l'axe négatif dans le plan des y. Si l'on imagine un point x décrivant l'axe des ordonnées, de bas en haut, le point correspondant y décrira deux fois l'axe des quantités négatives de — co à o puis de o à — 00 ; un même point de l'axe négatif dans le plan des y corres-
pond manifestement à deux points de l'axe des ordonnées du plan des a?, symétriques par rapport au point o. On reconnaît d'ailleurs qu'un point du demi-plan des x situé très près de l'axe des ordonnées a pour correspondant un point y situé au-dessus de l'axe négatif ou au-dessous de cet axe suivant que le point x est luimême au-dessus ou au-dessous de l'axe des abscisses dans son plan. Sauf les points situés dans le plan des y sur l'axe négatif, chaque point y est le correspondant d'un seul point du demi-plan
des x : ce point a pour affixe \/r ( cos — h i sin - ) en désignant par
7' la valeur absolue et par 0 l'argument principal de y. Les points de l'axe négatif (du plan des y) sont les correspondants de deux
DQ
Fig. 3i.
points (du plan des x) dont les affixes sont purement imaginaires et symétriques.
Imaginons qu'on pratique dans le plan des y, le long de l'axe négatif une coupure allant du point o au point — 00 ; quand le point x se meut dans le plan des x, d'une manière continue, sans jamais pénétrer dans la région située à gauche de l'axe des ordonnées, le point y se déplace d'une façon continue dans son plan sans jamais traverser la coupure ; quand le point x vient affleurer la moitié supérieure de l'axe des ordonnées, le point y vient affleurer le bord supérieur de la coupure, qu'il est ainsi naturel de rattacher à la partie du plan des y qui est située au-dessus de l'axe des quantités négatives ; de même, quand le point x vient allleurer la moitié inférieure de l'axe des ordonnées, le point y vient affleurer le bord inférieur de la coupure du plan des y que l'on rattachera ainsi à la partie inférieure du plan des y. Les deux bords de la coupure ont été figurés par deux droites parallèles rapprochées ;
