CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES

ces deux bords sont en réalité confondus avec l'axe négatif ; ils ne sont distincts que dans la pensée ; le bord supérieur est regardé comme correspondant à la moitié supérieure de l'axe des ordonnées, du plan des x, le bord inférieur comme correspondant à la moitié inférieure du même axe. Le plan des y, ainsi découpé, peut être regardé comme correspondant parfaitement à la moitié de droite du plan des x.

Si le point a? décrit, dans le plan des x (fig. 32), une demi-droite partant du point o, le point y = x% décrira, dans le plan des y, une demi-droite partant du point o de ce plan ; son argument sera double de l'argument de la première demi-droite ; si celle-ci tourne autour

du point o du plan des x de manière que son argument croisse de — - à ~, la demi-droite du plan des y tournera autour du point o de façon que son argument croisse de — n à n ; la première aura décrit la moitié du plan des x qui s'étend à droite de l'axe des ordonnées, la seconde tout le plan des y ; à deux positions distinctes de la première correspondent deux positions distinctes de la seconde, sauf pour les deux directions d'argument — -, -h -, opposées sur l'axe des ordonnées ; à ces deux directions ne correspond dans le plan des y qu'une seule demi-droite, qu'il est très naturel de dédoubler comme on l'a expliqué, en faisant correspondre le bord supérieur de la coupure à la demi-droite de l'axe des x dont

l'argument est -h - et le bord inférieur à la demi-droite dont l'argument est — , •

Considérons encore, dans le plan des x, le demi-cercle décrit du point ô avec le rayon r, situé à droite de l'axe imaginaire et rencontrant cet axe aux points a, b. Supposons que le point x décrive ce demi-cercle du point le plus bas b au point le plus haut a ; l'argument de x variera de — - à -h - ; le point correspondant y décrira le cercle de centre o, dans le plan des y, et de rayon r2 du point b' situé sur le bord inférieur de la coupure au point coïncidanta' du bord supérieur de la coupure.

r Puisque la correspondance entre le demi-plan des x situé à droite de l'axe imaginaire et le plan des y découpé comme on l'a expliqué, est parfaite, on peut au moyen de cette correspondance, définir x = \Jy comme une fonction univoque de y.

Cette définition équivaut aux suivantes : \/y est, pour chaque valeur de y, la racine carrée de y dont la partie réelle est positive.

Si l'on choisit pour l'argument de y la valeur principale de cet argument, l'argument de \/y sera la moitié de l'argument de y, la valeur absolue de \/y sera la racine carrée arithmétique de la valeur absolue de y.

Ces deux définitions tombent naturellement en défaut quand y est un nombre réel négatif, quand le point y est sur la coupure : pour les compléter, il faut dire si y appartient au bord supérieur ou au bord inférieur de la coupure ; suivant les cas, suivant que le point y sera en a ou en b', le point x = \/y sera en a ou en b, \fy sera un nombre purement imaginaire dans lequel le coefficient de i est positif ou négatif.

On peut dire encore, en désignant par v/— J la racine carrée arithmétique du nombre positif — y, que \/y est égal à i / — y ou à — i \J — y suivant que y est sur le bord supérieur ou sur le bord inférieur de la coupure.

La fonction \/y ainsi définie est continue dans tout le plan des y, quand on a pratiqué la coupure, si l'on convient, comme il a été expliqué plus haut, de regarder comme distincts les bords de la coupure, de ne pas regarder comme voisins deux points qui coïncident en réalité, mais qui appartiennent l'un au bord supérieur, l'autre au bord inférieur, ou deux points très rapprochés de la coupure et situés de part et d'autre. La continuité de \'y en un point yQ de la coupure, situé par exemple sur le bord supérieur,