CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES

consiste en ce qu'à chaque nombre positif s correspond un nombre positif 77 tel que l'on ait | \'y — \/y0 | < s si l'on a | y — j0 | <Lyj et si le coefficient de i dans y est positif.

338. — On vient d'employer un procédé particulier pour définir y/y, ou \/x, car le nom de la variable n'importe évidemment pas ; on peut en adopter d'autres, pourvu que le carré de la valeur adoptée pour \Jx soit toujours égal à x : cette condition est, en particulier, aussi bien vérifiée pour — \Jx que pour \jx. C'est par des raisons de continuité qu'on se laisse habituellement guider dans le choix qu'on adopte.

Dans tous les cas, la valeur absolue de \Jx devra être la racine carrée arithmétique de la valeur absolue de x, On peut convenir d'adopter pour argument de \Jx la moitié de l'argument de x ; dès lors, toutes les fois qu'on a adopté une règle pour déterminer l'argument de x, la fonction \Jx se trouve définie par là-même.

Par exemple, la définition adoptée dans le numéro précédent revient, de ce point de vue, à adopter pour l'argument de x sa valeur principale, comprise entre — n et -+- n.

Considérons un lien (T) défini par les formules

où f(t), gif) sont des fonctions réelles et continues dans l'intervalle (t0, tt) de la variable réelle t : ces formules définissent bien un lien, au sens du n° 288, puisqu'elles définissent l'abscisse f(i) et l'ordonnée g Ci) d'un point quelconque de ce lien. Je suppose essentiellement, sur ce lien, qu'il ne passe pas par le point o ; en d'autres termes les fonctions f[t), g(t) ne doivent pas s'annuler pour une même valeur de t appartenant à l'intervalle (70, tt)'. Soit 6 une valeur de t appartenant à l'intervalle (/0, t^, f le point correspondant du lien et a une valeur déterminée de l'argument de £. L'argument de x peut être défini, sans ambiguité, pour chaque valeur de t, comme une fonction continue de /qui, pour t = 6., se réduit à a : ce sera la somme de o? et de l'angle, défini au moyen du lien (T), dont le sommet est au point o, dont le premier côté passe par le point 2 et dont le second côté passe par le point du lien qui correspond à la valeur considérée du paramètre. Alors v/:t

sera définie sans ambiguïté pour chaque valeur de / : ce sera manifestement une fonction continue de /. On reconnaît immédiatement que pour définir ainsi y/a:, il n'est pas nécessaire de se donner a, ii suffit de se donner la valeur de \ £ ; car on pourra prendre ensuite a égal au double de l'un quelconque des arguments de \f \. On peut caractériser cette façon de faire en disant que \Jx est définie au moyen du lien et de sa valeur en un point du lien.

Si le lien (T) est simple et ouvert, on peut dire aussi que la fonction \jx est définie sans ambiguité pour chaque point x du lien ; mais, s'il en est autrement, la valeur de x ne suffit pas, il faut savoir à quelle valeur de t elle correspond. Si le même point x correspond aux deux valeurs t', t", les valeurs de \/x peuvent être égales, comme elles peuvent être symétriques, lorsqu'on regarde x comme correspondant à t1 ou à /". Cette circonstance peut se présenter quand le lien est simple et fermé ; les valeurs de \/x pour t = t0 et pour t = t{ peuvent être égales ; elles peuvent être symétriques.

Pour pouvoir comparer la nouvelle définition avec celle du numéro précédent et éviter les confusions d'écritures, convenons, pour un moment, d'employer les notations \/x, (\/x), la première avec la signification du numéro précédent, la seconde avec la signification qu'on vient d'expliquer ; x désigne toujours un point du lien. Afin de simplifier un peu, je supposerai, relativement à la définition de (y/a:), que la valeur 6 de t pour laquelle on a fixé l'argument de x coïncide avec t0, en sorte que le point <~ correspondant est l'origine du lien ; je supposerai en outre que le point E, n'est pas situé sur l'axe négatif et qu'on ait pris pour a la valeur principale de l'argument ; alors, à l'origine du lien (T), y/a; et (y/a;) coïncident. En un point quelconque du lien, correspondant à la valeur t du paramètre, (y/a;) est une fonction continue de t ; il en est de même de y/a;, pourvu que x ne soit pas sur l'axe négatif. La différence \/x — (y/a?) est continue tant que ses deux termes sont des fonctions continues ; elle est d'ailleurs égale soit à o, soit à ± 2 y/à; ; dans ce dernier cas, elle reste toujours supérieure, en valeur absolue, à un nombre positif fixe, puisque la valeur absolue de x est au moins égale à la distance du point o au lien, qui n'est pas nulle. Il suit de là que la différence y/âc — Va;) nulle pour / = /„ reste nulle, lorsque / croît à partir de t0, tant que l'on n'atteint pas