CHAPITRE XI. FOiNCTIOXS DE VARIABLES IMAGINAIRES

Taxe négatif. Supposons qu'on atteigne cet axe une première fois, au point x' , pour t = t' ; si, pour / un peu plus petit et un peu plus grand que /', le coefficient de i garde le même signe, si, en d'autres termes, le point x ne traverse pas la coupure, alors la conclusion subsiste : la différence reste nulle pour t=t' et pour t un peu plus grand que /', pourvu que l'on regarde x' comme appartenant à celui des bords de la coupure qu'il faut considérer comme voisin des points du lien qui correspondent aux valeurs de t un peu plus petites ou un peu plus grandes que t' ; la même conclusion subsisterait, avec une condition analogue si, dans l'intervalle (l, L"j lc point x restait sur l'axe négatif et si le coefficient de i dans x restait, pour les valeurs de t un peu plus grandes que t", du même signe que pour les valeurs un peu plus petites que /'.

Mais les choses se passent différemment si pour t= t' , le lien (T) traverse l'axe négatif; pour des valeurs de t suffisamment voisines de /', le point x est d'un côté ou de l'autre de l'axe négatif suivant que t est plus petit ou plus grand que t1 ; les valeurs principales de l'argument pour deux points ainsi placés de côté et d'autre de l'axe négatif diffèrent à peu près de 'i~\ les deux valeurs de \Jx sont à peu près symétriques, en sorte que la valeur de — \Jx pour / un peu plus grand que /' est voisine de la valeur de \fx pour t un peu plus petit que /' ; pour / plus petit que /', \Jx coïncide avec (yx) ; pour t un peu plus grand que /', c'est au contraire — \/x qui coïncide avec (/#) ; lorsque / continue de croître à partir de l' , on a toujours — \lx = {<Jx), tant que l'on n'atteint pas l'axe négatif, etc..

J'abandonne maintenant la signification spéciale attribuée aux notations Jx, (i/âc).

Considérons un domaine simple (A) (n° 320 . Je suppose essentiellement que le point o soit extérieur à ce domaine. On a démontré au n° 314 que l'argument de x, l'angle dont le premier côté est l'axe positif, dont le second côté va du point o au point x, peut être défini comme une fonction continue de x qui, pour le point donné x0 du domaine, se réduit à une valeur a0 arbitrairement choisie parmi les arguments de x0. Par l'à-même v; r se trouve définie dans tout le domaine ; il n'est même pas nécessaire de se donner a0 ; il suffit de se donner la détermination /a?0 de \Jx en js0 ; \lx est alors définie comme une fonction de x, continue dans le

domaine et se réduisant à \fx~0 pour x = x0. On pourra si l'on veut prendre a0 égal au double de l'un des arguments de \Jx9.

Soit T) un lien dont tous les points appartiennent au domaine et qui contienne le point x0 ; définissons maintenant la fonction (Va?) le long de ce lien, au moyen de la valeur >Jxa qu'elle doit prendre en ce point, en sorte que la fonction (y/a?) coïncide en x0 avec la fonction \Jx, définie dans tout le domaine. Les deux fonctions (y/a:) et \/x coïncideront tout le long de (T), comme, on le voit en raisonnant ainsi qu'on a fait un peu plus haut.

Considérons plusieurs liens partant du point x0, aboutissant au point asj et contenus tout entiers dans le domaine ; si l'on définit la fonction ^x , sur chacun des liens, en partant de la même valeur initiale \fx0, on aboutira au point xl à la même valeur de yjx^ quel que soit le lien que l'on considère.

Si, en particulier, on considère un lien fermé, contenu dans le domaine, et si on définit \fx le long de ce lien en partant d'une valeur déterminée \/x0, au point de départ x0, on reviendra en ce point, après avoir parcouru le lien, avec la même valeur y/a?0.

339. — Ces diverses définitions de \Jx sont fondées sur la notion d'angle ; elles peuvent être utilisées pour certaines fonctions qui se trouvent être définies sans ambiguïté quand on se donne l'argument de x ; en particulier, elles s'appliquent, avec quelques modifications qui ne peuvent échapper au lecteur, à la définition précise de la fonction x"1, où m est un nombre réel, soit dans le plan coupé comme au n° 337, soit le long d'un lien, soit dans un domaine simple comme à la fin du précédent numéro. Le point o ne doit appartenir ni au lien, ni au domaine.

Si le lecteur veut bien réfléchir un peu sur les définitions de l'angle considéré comme on l'a fait au précédent chapitre, il reconnaîtra immédiatement que le succès de ces définitions tient, d'une part, à ce que les diverses valeurs qu'on peut attribuer à un angle différent d'une quantité finie un multiple de 2ît), et que, d'autre part, on peut faire varier l'angle d'une façon continue. Rien n'empêche de fonder la définition de N x sur des propriétés analogues, sans passer par l'argument, en employant d'ailleurs des raisonnements analogues à ceux des nos 292. 302. Je m'arrête un instant sur cette méthode, en raison de sa généralité.