CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES

Considérons d'abord l'ensemble parfait (G) -t- (F) constitué par un continuum (C) et sa frontière (F) ; je suppose que le point o n'appartienne pas à cet ensemble dont tous les points seront par suite à une distance du point o supérieure ou égale à un nombre fixe, que je désigne par o\ Soit s l'écart de l'ensemble; je supposerai s <C r}. Dans ces conditions, il est aisé de définir une fonction y de x, continue dans l'ensemble (C) -t- (F), vérifiant identiquement l'équation y2 = x', et prenant pour un point xoi qui appartient à l'ensemble, une valeur y0 arbitrairement choisie parmi les deux racines de l'équation y2 = x0 ; ces conditions d'ailleurs déterminent entièrement la fonction y ou \Ac-

Soit en effet x un point quelconque de l'ensemble ; on va choisir pour la valeur correspondante de \Jx celle des deux racines de l'équation (en y) y2 = x qui esTla plus voisine de y0 ; on va voir d'ailleurs que ces deux racines ne peuvent être également éloignées de y0 ; on a en effet

O'o — y) bfo + fi = x° ~ x-

en désignant par y l'une des deux racines ; on en déduit

- I/o —y\ Ijo H-r| <^ s:

l'un au moins des deux nombres \y0 — y\, |y„-Hy|> est donc inférieur ou égal à /e ; on peut supposer qu'il en est ainsi du premier, car, autrement, on changerait y en — y. Dès lors, on a certainement \y0 H- y\ > \/l, car les deux inégalités \y0 — y\ < s, |y0 -h y\ ^== s entraîneraient

2 IJol ^ I/o + y\ -h |y0 — y| ^ 2 \/l ;

or ceci est contraire aux suppositions que l'on a faites qui entraînent |y0| > \/o > \/s.

On a donc certainement !y0 — 3'jr< |y"o ■+■ j| 5 cette condition ou, si l'on préfère, l'inégalité {y0 — y\ ^ \/e déterminent y ou v^c sans ambiguïté dans l'ensemble (C) -+- (F). La fonction ainsi définie est continue dans cet ensemble; soient en effet xL, x.2 deux points du domaine et yu y.2 les valeurs de \/x définies comme on l'a expliqué ; on peut poser yt = y0 -t- oy ^/£, y% = y0 -+- p2 \j% en

288 INTHODL'CTIO N~ A LA THEORIE DES FONCTIONS

désignant par plt p2, des nombres imaginaires dont les valeurs absolues sont moindres que i ; on a d'ailleurs

n ~ Jl = y^lf\ = 3j0-f-.(pt-t-p2)^ '

puis

|2Jo + (?j + p2)v/è| > 2|j0| — |Pj -I- p2|\/£^ *\/o — ay/i. On a, par conséquent

et cette inégalité rend manifeste la continuité de la fonction dans tout l'ensemble (C) H- (F).

Il n'y a d'ailleurs dans l'ensemble qu'une seule fonction continue qui vérifie identiquement l'équation y2 = x et qui pour x = x0 prenne la valeur prescrite y0 : considérons en effet une seconde fonction satisfaisant à ces deu\ conditions et prenant en un point x' de l'ensemble une valeur différente de \Jx' ; il suffirait de relier le point x0 au point x' par un lien contenu dans l'ensemble (C) -+- (F), et de se rappeler un raisonnement déjà employé plus d'une fois pour voir que la différence entre les deux fonctions ne peut être, le long du lien, une fonction continue du paramètre dont la valeur détermine chaque point du lien, sans être nulle.

Il suit de là que si, au lieu de partir du point x0 avec la valeur initiale y0 pour \/x0, on était parti du point x'0 avec la valeur y'0, on aurait en procédant de la même façon, défini la même fonction, si y'0 se trouve être la valeur de \Jx'a qui résulterait de la première définition.

Ceci posé, si l'on considère un lien (T), défini par la formule

e-t qui ne passe pas par le point o, on pourra définir tfx comme une fonction continue de / qui prenne pour /u (par exemple' une valeur prescrite \z'x0, dont le carré toutefois soil égal à x0; on intercalera entre t0 et /,, des nombres croissants /', t\ .... en s'arrangeant de façon que les intervalles (/„, /' . t' . F), ..., '/(" ". t,) soient assez petits pour que les liens partiels qui cotres-