CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES 2è>Q

pondent à ces intervalles puissent être regardés comme contenus dans des ensembles parfaits qui satisfassent aux mêmes conditions que l'on a imposées tout à l'heure à l'ensemble (G) -f- (F). Dès lors \/x peut être définie dans le premier ensemble et par suite dans l'intervalle (/0, t!) en partant de la valeur \fxQ ; puis, dans le second ensemble et par suite clans l'intervalle (t', t"), en partant de la valeur \lx' qui correspond à t = t' , etc.

Soit maintenant (A) un domaine simple auquel le point o soit extérieur; soit x0 un point de ce domaine. On va montrer, en restant dans le même ordre d'idées, qu'il existe une fonction \/x, continue dans le domaine, qui, pour x = xQ se réduit à la valeur prescrite v7^- Cette fonction est unique.

Je vais d'abord établir cette proposition quand le domaine simple est une de ces figures que j'ai désignées au n° 314 sous le nom de trapèzes ; le contour de ce trapèze comprend : i° deux arcs de courbes A0Aj, A'0A!| dont les origines A0, A'0 ont même abscisse a0, dont les extrémités A,, A', ont même abscisse aL ; à chaque abscisse appartenant à l'intervalle («0, a, ) correspond un point sur la première courbe et un point sur la seconde, d'ordonnée plus grande; toutefois les points A0 et A'0, A, et A[, peuvent être confondus; 2° deux côtés A0A'0, A,Aj parallèles à l'axe des ordonnées; l'un ou l'autre de ces côtés peut être de longueur nulle. Tous les points du trapèze sont supposés à une distance du point o supérieure à un nombre positif fixe &.

On peut décomposer ce trapèze par des parallèles à l'axe des ordonnées, dont les distances mutuelles soient moindres que le

nombre positif y- , en une première série de trapèzes, se succédant

de gauche à droite.

Considérons celui qui contient le point x0. On le décomposera, par des parallèles à l'axe des abscisses dont les distances mutuelles soient moindres que -7= , en une seconde série de petits tra-

pèzes comprenant des rectangles). Chacun de ces petits trapèzes peut être regardé comme cet ensemble parfait du début, où tous les points sont à une distance du point o supérieure à cS\ où deux points quelconques sont à une distance mutuelle inférieure à s <C^- Le mode de définition pour \ x s'applique. On l'appliquera tout

Tannery II. — IntrculuPt on à la Théorie drs fondions

d'abord au trapèze qui contient le point xQ, pour lequel \/x~Q est donnée ; dans tout le petit trapèze la fonction \/x est définie et continue; il en est ainsi sur les côtés parallèles à l'axe des abscisses; considérons un de ces côtés, il est commun avec un second trapèze, contigu au premier ; on prendra un point xv sur ce côté ; en ce point, la valeur de \/xy est définie, et l'on peut par conséquent par le même procédé, définir \Ac dans tout le second trapèze ; en raison de la continuité sur le côté commua aux deux trapèzes, les valeurs de \/x qui résultent de la première ou de la seconde définition sont les mêmes, puisqu'elles sont les mêmes en xy ; on continuera ainsi successivement de trapèze en trapèze, par exemple

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en descendant à partir du trapèze qui contient x0, puis, quand on a achevé de descendre, en remontant à partir du même trapèze ; on aura ainsi défini sjx dans tout un trapèze de la première série, celui qui continuait x0 ; on procédera pour les trapèzes de la première série comme on a fait pour les trapèzes de la seconde ; la fonction \Jx est ainsi définie pour tout le trapèze primitif.

La proposition, une fois établie pour un trapèze, il suffit d'appliquer au domaine total ce procédé de décomposition que l'on a décrit au n° 314 et qui aboutit à des trapèzes, puis d'employer le même mode de raisonnement, pour démontrer par induction qu'on peut définir \Jx dans tout le domaine comme une fonction continue.