CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES

340. — Soit f[x, y) un polynôme en x, y du degré n en y; soit (A) un domaine simple ne contenant aucun pointa: pour lequel l'équation (en y) fix, y) = o ait des racines infinies ou multiples ; il n'est pas difficile d'établir les propositions suivantes :

Les racines ji, y.2, ..., yn de l'équation x, y sont bornées dans le domaine (A). La différence entre deux quelconques de ces racines est supérieure, en valeur absolue, à un nombre positif fixe r), pour tous les points du domaine. Quelque petit que soit le nombre positif s, on peut lui faire correspondre un nombre positif yj tel que, si l'on suppose \x' — x"\ <C y] et si l'on désigne respectivement par j'n y'.2, ..., y'n et par y'[, y"2, ..., y"n les racines de l'équation en y pour les deux points x' et x" de (A), on pourra accoupler ehaque racine de la première suite, à une racine de la seconde suite de façon que l'on ait

h\-y'l\<z> Ij^-KK-..., ■ |.j4.— jy<«.

Ces propositions une fois établies, on pourra définir sans ambiguïté, dans Je domaine simple (A), n fonctions continues yl} y2, ..., yn de la variable x, satisfaisant toutes identiquement à l'équation f(x, y) = o et prenant respectivement au point x' les valeurs y\, y'.,, ..., y'n. Les raisonnements sont analogues à ceux du numéro précédent. Cette définition est le point de départ de la théorie des fonctions algébriques ; mais, comme je n'ai pas l'intention d'entrer dans cette théorie, je me bornerai aux indications qui précèdent.

34i. — Considérons encore la fonction y/i — x2, dont nous aurons besoin plus tard. C'est, si l'on veut, une fonction de fonction. Posons a = i — x2 ; la valeur de u est définie pour chaque valeur de x ; en adoptant l'une ou l'autre des définitions de \/u que l'on a exposées plus haut, la fonction y/i — x2 sera évidemment définie. Comme au n° 337, je regarderai \/a et \/i — x2 comme définies par la condition que leurs parties réelles soient positives ; il n'y a d'ambiguïté que si u ou i — x'2 sont négatifs ; x, qui doit alors être égal à ± ^i — a, est réel et plus grand que i en valeur absolue. Figurons dans le plan qui sert à représenter la variable x, deux coupures, pratiquées le long de l'axe réel, l'une du point i jusqu'à 4- oo , l'autre du point — i jusqu'à — gg . En tout point

x, non situé sur l'une ou l'autre des deux coupures, la fonction V'i — x2 définie comme on a fait est continue. Les deux coupures correspondent à la coupure que l'on tracerait clans le plan des u,

Fig. 34.

le long de l'axe négatif, pour définir \/a comme il a été expliqué au n° 337. Il reste à définir \/i — x2 sur les bords des deux coupures.

Supposons le point u un peu au-dessus de l'axe négatif, en sorte que son argument principal soit un peu plus petit que 7t. Il suffit de se reporter à la construction du point i — u pour reconnaître que l'argument principal, de i — u est négatif et petit en valeur absolue; des deux points ± y/i — «, symétriques par rapport au

Fig. 35.

point o, l'un, dont l'argument est la moitié de l'argument de i — u, est situé un peu au-dessous de la coupure qui va de i à H- oo , l'autre un peu au-dessus de la coupure qui va de — i à — oo . Inversement, pour les points x ainsi placés, le coefficient de i, dans \J i — x2 ou \/u, est positif; au contraire, pour les points x placés un peu au-dessus de la coupure qui va de i à -h oo , ou un peu au-dessous de la coupure qui va de — i à — oo , le coefficient de i dans \/i — .r2 est négatif.

Quand x est sur le bord inférieur de la coupure 4- i 1- oo

ou sur le bord supérieur de la coupure - — i oo , \U — x2