CHAPITRE XI. PONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES 2q

est égal à i \/x2 — i, en donnant à \fx2 — i sa signification arithmétique ; quand x est sur le bord supérieur de la coupure

-4- i -h oo , ou sur le bord inférieur de la coupure

— i oo , \/i — x2 est égal à — i\/x2 — i.

Je laisse au lecteur le soin de montrer que /i — x'1 n'est réel que si x est réel et compris entre — i et -+- i, ou si x est pure-

[\JC2 - 1

- i Vu;-- 7 i\x--r

Fig. 36.

ment imaginaire; quand x est dans l'angle des coordonnées positives, ou dans l'opposé par le sommet, le coefficient de i dans v/i — x2 est négatif; il est positif quand x est dans l'un ou l'autre des deux autres angles.

On arrive aux mêmes conclusions par un raisonnement qui se généralise aisément et dont l'emploi est souvent commode. Définissons \Ji — x2 comme un nombre imaginaire dont l'argument soit la moitié de l'argument de i — x2 ; quand à l'argument de i — x2, on le définira par continuité le long d'un lien qui ne passe par aucun des points — i, j pour lesquels i — x2 s'annule.

Fig. 37.

par exemple le long d'un demi -cercle décrit du point i comme centre avec un rayon aussi petit qu'on voudra, partant d'un point a situé sur l'axe réel entre les points o et i et aboutissant au point fi sur le bord supérieur de la coupure de droite, ou au point fi' sur le bord inférieur. Au point a, i — x2 est réel et positif; son argument est un multiple de 2 tï ; si l'on veut que \/i — x- soit positif, on devra prendre pour l'argument de i — x2 un multiple pair de 2 7ï, o par exemple. Il reste à voir comment varie l'argument de i — x2 quand x décrit, par exemple, ledemi-cercle supérieur a/3. On ai — x2 =-(i — x) (i -\-x), la variation de l'argument de i — x2 est égale à la somme des variations des arguments des deux facteurs i — x, i -t- x ; la variation de l'argument de x -+- i est

l'angle que décrit le vecteur qui va du point — 1 au point x quand x décrit le demi-cercle a]3 ; il est nul (n. La variation de l'argument de 1 — x ou de ce — t est l'angle que décrit, dans les mêmes conditions, le vecteur qui va du point 1 au point x ; il est évidemment égala- — t.; la variation de l'argument de 1 — x2 quand on passe du point a au point |3 en suivant le demicercle est égale à — tu ; l'argument de 1 — x2 reste égal à — ~ tout le long du bord supérieur de la coupure ; celui de Vi — x2

est égal à — : ; il est égal à sur le bord inférieur de la coupure.

En procédant comme pour \Jx, on pourrait aussi définir <J 1 — x2 comme une l'onction continue de / le long d'un lien (T) qui ne passe par aucun des points -h 1, — 1 pour lesquels les deux valeurs possibles de y/i — x2 viennent se confondre : cette fonction sera déterminée si on a choisi la détermination que l'on veut faire correspondre à une valeur /„ de /. Quand le lien traverse l'une ou l'autre des coupures, les choses se passent comme pour \,lx- De même, on pourra définir y/i — x2 comme une fonction continue de x clans tout domaine simple auquel les points H- 1 et — 1 sont extérieurs.

II. — SÉRIES ENTIÈRES EN x ; SÉRIES ET PRODUITS INFINIS DONT LES TERMES SQftT DES SÉRIES ENTIÈRES EN x ; PROLONGEMENT D'UNE FONCTION.

342. — La considération de séries dont les termes sont des fonctions d'une variable imaginaire fournit un moyen précieux pour étendre à une telle variable la notion de certaines fonctions d'une variable réelle, pour créer de nouvelles fonctions, comme aussi pour en établir les propriétés. Les séries qui procèdent suivant les puissances entières et positives de la variable tiendront un rôle prépondérant.

La notion fondamentale de convergence uniforme, développée dans le premier paragraphe du Chapitre V s'étend si facilement

(') Il suffirait d'observer que celte variation est évidemment négligeable si le rayon du cercle de centre 1 est suffisamment petit.