CHAPITRE XI. FONCTIONS DES VARIABLES IMAGINAIRES 2û

aux suites, aux séries, aux produits infinis dont les termes sont des fonctions d'une variable imaginaire, que je crois inutile d'y revenir : on n'oubliera pas toutefois que les mots « valeur absolue » doivent maintenant être entendus avec le sens qu'ils ont dans la théorie des nombres imaginaires. La proposition I du n° 183, en particulier, est d'une application fréquente ; rappelons la conséquence qu'on en a tirée au n° 184, pour lui donner la signification générale qu'elle est susceptible de prendre maintenant. Considérons une série entière en x

(i) «o + aix H- aix~ -h ••• H- anx" H- ••• ;

les coefficients numériques a0, ai, ..., a„, ... sont des nombres réels ou imaginaires dont je désignerai les valeurs absolues par a'0, a', ..., a'n, .... Supposons que l'on connaisse un nombre positif A tel que la série à termes positifs

(2) a'0 -+- a[k + a',k- ■+- ... -+- a'nkn H- ...

soit convergente. On est alors certain que la série (1) est uniformément et absolument convergente, pour l'ensemble des points x pour lesquels on a | x | < A ; sa somme est une fonction continue de x dans ce même ensemble, c'est-à-dire pour tous les points qui appartiennent au cercle de centre o et de rayon A : ce cercle remplace maintenant l'intervalle ( — A, A) que l'on considérait au n° 184 ; les autres conséquences de ce numéro s'étendent d'ellesmêmes ; je n'y reviens pas. Observons que la supposition faite sur le nombre A revient à dire que la série (1) est absolument convergente pour un nombre x dont la valeur absolue est A.

Si, pour x == x0, l'ensemble des termes de la série (1) est borné en haut ; si, en d'autres termes, il existe un nombre positif P tel que l'on ait, quel que soit le nombre naturel n,

la série (1) est absolument convergente pour tout nombre xt dont la valeur absolue est inférieure à celle de x0. Pour un tel nombre xit la série à termes positifs

est, en effet, convergente : elle reste convergente si on en multiplie respectivement les termes par les termes correspondants de la suite

| a0 | , 1 QqXq 1 , QqXq I ' '" I ^0^0 I ' ■••"»

qui sont au plus égaux à P ; or on obtient ainsi la série

| aQ | + | a0xi | + | a0x\ | + ... + | a0x" | ;

dire que cette série est convergente, c'est dire que la série (1) est absolument convergente pour x =xi : on pourra prendre pour le nombre A n'importe quel nombre positif moindre que xQ.

La proposition qu'on vient d'établir est due à Abel.

Si, en particulier, la série (1) est convergente pour x = xQ, l'ensemble des nombres j a0xôn j (71 = 0, 1, 2, ...) est certainement borné en haut : la série (1) est alors absolument convergente pour | x |< j x0 |.

Soit a un nombre positif; si l'on sait que la série (1) est absolument convergente lorsqu'on a [ x | <C a, on peut affirmer qu'elle est absolument convergente sous la même condition. Si, en effet, on a | xi | <C a, il suffit de considérer un nombre x2 dont la valeur absolue soit comprise entre « et j xv ', la série sera convergente pour x2, elle sera donc absolument convergente pour x{.

Si la série (1) est divergente pour x = x' , elle sera certainement divergente pour tout nombre x" dont la valeur absolue dépasse celle dex'; si, en effet, la série était convergente pour a?", elle serait aussi convergente pour x' .

Ceci posé, considérons l'ensemble (E) des nombres. positifs ou nuls 0 tels que la série

soit convergente ; si un nombre p fait partie de cet ensemble, il en est évidemment de même de tous les nombres positifs plus petits que lui ; cela résulterait d'ailleurs du théorème d'Abel.

Si l'ensemble (E) n'est pas borné en haut, c'est que la série (1) est absolument convergente quel que soit x ; inversement, si celte série est convergente quel que soit x, l'ensemble (E) n'est pas borné en haut; en effet, si on se donne le nombre positif p, la série ( 1 : doit être convergente pour un nombre dont la valeur