CHAPITRE VII. INTÉGRALES DEFINIES

est naturel de se demander si la valeur de J peut atteindre une des bornes de l'intervalle auquel elle appartient, la seconde, par exemple.

Si l'on considère une décomposition (a0, a,,..., a„l5 a^ de l'intervalle (a0, a), J appartient à l'intervalle borné par les deux nombres

(«i — «o)mi + (a2 — ai)m2 -h ... + (a — an x)mn, (a, — a0)Ml -h (a2 — a,)Ma H- ... H- (a— a„!)Mn,

en désignant par m15 m2, ..., m„, M,, M2, ..., M» les bornes inférieures et supérieures de la fonction dans les intervalles partiels ; puis donc que les nombres M,, M2, ..., Mn sont au plus égaux à M, J ne peut être égal à

(a — a0)M = (ai — «0)M -h (a2 — a,) M h- ... -f- (a — aB t)M

que si l'on a

Par conséquent le nombre J ne peut être égal à (a — a0 M que dans le cas où, quels que soient les nombres différents p, q appartenant à l'intervalle (a0, a), la fonctionnas) a M pour borne supérieure dans l'intervalle p, q ; s'il en était ainsi et si l'on savait d'ailleurs que la fonction f(x) est continue dans l'intervalle aQ, a), ou que cet intervalle peut être décomposé en un nombre fini d'intervalles partiels tels que clans chacun d'eux la fonction fût, ou continue, ou croissante, ou décroissante, ou constante, on pourrait affirmer que, dans l'intervalle a0,a , la fonction y x est constamment égale à M.

De même, pour que le nombre J fût égal à (a — a0)m, il faudrait que, dans tout intervalle >p, q) dont les limites p, q, supposées distinctes, appartiennent à l'intervalle (a0, à), la borne inférieure de la fonction f(x) fût égale à m.

Par conséquent, sauf dans les cas exceptionnels qui viennent d'être précisés, on peut affirmer que le nombre J est égal au produit de a — aQ par un nombre [X compris entre m et M, ces limites étant exclues. En particulier, si, dans tout l'intervalle (a0, a), on a f(x) > o, on peut affirmer que l'intégrale, en supposant a >> a0, est positive ; elle ne pourrait être nulle crue si, dans tout

Tannery II. — Introduction à la Théorie des fonctions 3

intervalle contenu dans (a0r a), la borne inférieure de la fonction était nulle.

Si la fonction f(x) est continue, il y a (n° 186) un nombre | appartenant à l'intervalle (a0, a) tel que l'o>n ait

On peut donc écrire

(i) faf(x)clx = (a-a0)f(l);

on peut même supposer dans ce cas le nombre ç différent de a0 et de a ; soient en effet x' et x" les deux nombres de l'intervalle (a0, a) pour lesquels on a

la fonction continue./ (x) — [i étant positive pour a? = x' , négative pour x = x", s'annule pour un nombre £ compris entre x' et x", par conséquent compris entre aQ. et a et distinct de ces limites.

Si F (a?) est une fonction qui, dans l'intervalle (a0, a), admette f\x) pour dérivée, on aura

faf(:c)dx = F(a)-F(a0)

Ja0,

et l'égalité (i) deviendra

cette égalité exprime le théorème démontré d'une autre façon dans le n,° 216 ; mais, à la vérité, la nouvelle démonstration suppose la continuité de' la dérivée /(a?) de la fonction F (a?), continuité qui n'était pas supposée dans la première démonstration.

On peut aussi établir de la même façon une formule analogue à celle du n° 230 ; je vais le faire en suivant une méthode duc à M. Darboux, (1), et qui, d'ailleurs a été utilisée déjà au n° 231.

(*) Sur les développements en série des fonctions d'une sente rnrialde (Jnurnol ,1, Lioumlle, 3° série, t. II;, p. iiyo).