x -+- 1.2 x2 -+- ... -h 1.2... nxn H

Supposons enfin que l'ensemble (E) ait une borne supérieure non nulle R ; que, en d'autres termes, la série (i) soit convergente pour quelque valeur de x autre que o et ne soit pas toujours convergente.

Le cercle décrit du point o comme centre avec le rayon R est alors le cercle de convergence de la série, R est le rayon de convergence. La série converge absolument en tout point intérieur au cercle ; sa somme est une fonction continue en tout point intérieur au cercle, uniformément continue clans tout ensemble clos intérieur au cercle. Lorsque la borne supérieure R de l'ensemble E appartient à cet ensemble, c'est-à-dire quand la série (3 ; est convergente pour p = R, ou, ce qui revient au même, quand la série (i) est absolument convergente en un point de la circonférence de son cercle de convergence, la série (i) est absolument et uniformément convergente dans l'ensemble des points qui appartiennent (n° 279) au cercle de convergence, qu'ils soient intérieurs ou sur la circonférence ; dans ce même ensemble, qui est parfait, sa somme est uniformément convergente. C'est ce qui arrive pour la série

X X2 Xn