La série

(4) a'0 -h a[x -+- «2 ce2 -h ...

dont les coefficients a'0, a\, a'2, ... sont les valeurs absolues des coefficients a„, alt a.2, ... de la série (1 ; a même cercle de convergence que cette dernière ; sa somme est positive pour toute valeur positive de x, elle croît quand x croît de o à R ; elle peut d'ailleurs être finie ou infinie pour x = R. Désignons par x' la valeur absolue de x, par/fx) la somme de la série (1), par F (as) la somme de la série (4) ; il est clair que l'on a

pour toutes les valeurs de x qui rendent la série (1) absolument convergente. L'égalité ne peut avoir lieu que si, pour toutes les valeurs de n, on a anxn — a'nXn.

Une inégalité telle que (5), considérée indépendamment de la définition particulière des fonctions f(x, F x , caractérise la fonc-