CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES

tion F (x) comme étant ce qu'on appelle une fonction majorante de la fonction f{x). On doit entendre que cette dernière fonction est définie dans un certain ensemble (ici l'ensemble des points x intérieurs au cercle de convergence), et que la fonction F (x) est réelle quand on y remplace la variable par la valeur absolue x' d'un quelconque des nombres x qui appartiennent à l'ensemble où fix) est définie.

Dans le cas particulier où je me suis placé, je désignerai la fonction F (x), somme de la série (4), comme étant la majorante naturelle de la fonction f(x), somme de la série (i). Lorsque les coefficients de cette dernière série sont réels et positifs, la fonction f(x) est à elle-même sa majorante naturelle.

Tel est le cas, par exemple, en supposant | x | <C i, pour la fonction

Soit a un nombre quelconque, différent de o et soit a' sa valeur absolue ; l'égalité précédente montre, en y remplaçant x par - > que, sous la condition x' <; a', on a

i x xa a- er

la majorante naturelle du second membre, pour les valeurs considérées de a? est

telle est donc, pour les mêmes valeurs de x, la majorante naturelle

de- : au reste, pour ces valeurs, l'inégalité <= — , >

résulte de l'inégalité évidente | x — a | >; a' — ■ x' ; cette même

inégalité., en désignant par n un nombre positif, entraîne

la fonction , , — $- est donc, pour les valeurs considérées de x

une majorante de la fonction ^r^TaS" ; cIue ce S0l{ *a maj0rante

naturelle, c'est ce que le lecteur reconnaîtra immédiatement, dès qu'il aura vu l'extension delà formule du binôme aux valeurs imaginaires de la variable.

On déduira encore sans peine de l'égalité ( 1) que les fonctions

sont, en supposant toujours | x | <C a, les majorantes naturelles des fonctions

344. — Quoique je n'aie pas l'intention de traiter des fonctions de plusieurs variables, je dois cependant indiquer une généralisation immédiate de la notion de série entière en x.

Considérons la série à entrée pl'PIe

où les Aai, «2, .. , ap sont des coefficients numériques et où xt,x.2, ...,xP désignent/) variables ; a(, a2, ..., ap sont des nombres entiers positifs ou nuls ; la sommation est étendue à tous les systèmes distincts (a4, a2, ..., a.p) ; on a vu au Cbapitre II commentées systèmes formaient un ensemble dénombrable.

En désignant par aif a2, ..., av des nombres positifs, je suppose que la série à termes positifs ou nuls que l'on déduit de la série (i) en y remplaçant les coefficients ASl, a2, ..., *p par leurs valeurs absolues et xit x.2, ..., xv respectivement par au a2, ..., a,,, soit convergente. 11 est clair que la série (î) sera absolument convergente pour les valeurs de xi} x.2, ..., xv qui satisfont aux conditions

(2) I xi I ^ ai» | a;2 | < a2, ..,, | xp | < ap;

la somme de la série, pour l'ensemble de ces valeurs est une fonction des p variables xn x.x, ..., xv. En supposant toujours que ces variables satisfassent aux conditions V), on peut ordonner la série comme l'on veut ; on peut par exemple, écrire le terme indepen dant A0, o, .., o> puis les p termes du premier degré, puis les