CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES

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— termes du second degré, etc.. ; on peut aussi ordonner

par rapport à l'une des variables, x^ par exemple ; on obtient alors une série entière en xv dont les coefficients sont des séries analogues à la série (2), mais ne contenant plus que p — 1 variables

La fonction /(ajj, x2, ..., xn) est continue, c'est-à-dire que : Quel que soit le nombre positif s, on peut lui faire correspondre p nombres positifs slt s2, ..., s,,, tels que l'on ait

] J {^X1, X2, ..., X},) J [Xl, X.2, ..., Xj,) I <C, £

sous la condition que les nombres x[, x'2, ..., x'p satisfassent aux conditions (2) comme les nombres a?15 x.2, ..., xp et que l'on ait

I rA — xi I < £i> I a?i — ?« ! < £2> •••• I .4 — »P | < tp.

La rlémonstration est pareille à celle que l'on a donnée pour le

cas d'une variable.

Enfin on a une proposition semblable au théorème d'Abel: Soient bu ..., bv n nombres quelconques, différents toutefois

de o ; si l'ensemble des nombres positifs ou nuls

est borné en haut, on pourra prendre pour «n a.2, ..., av des nombres positifs quelconques, respectivement plus petits que |6,[, \b.2\, ..., \bp\ ; la série (1), à entrée pwPle sera absolument convergente pour Xi = aif x2 = a2, ..., xv = ap. En effet, les séries à termes positifs

aù

sont convergentes, il en est de même de leur produit

6fi b^ -., bp

ai, a,, .. ,a.

et de la série que l'on déduit de celle-là en multipliant respectivement ces termes par des nombres positifs qui restent tous inférieurs à un nombre positif fixe, par exemple en multipliant par

\K ■ * * &?J 6?2... K"\ le terme

Ul U2 ••■' wï

la série à termes positifs ou nuls

est donc convergente, c'est ce que l'on avait annoncé.

Il est tout naturel d'étendre à ce cas l'expression de fonction majorante, et de dire que la fonction F(asi, x2, ..., x,,) somme de la série

yl i [ai a.) a„

J Aa a » » «V ■••• *

jBmi | aj, ao, ..., «pli 2 p

ax, a2, ..., ccp

dont les coefficients sont les valeurs absolues des coefficients de la série (i) est une fonction majorante de la fonction fÇxl}x2, ...,xp); on a, pour toutes les valeurs de xif x.2, ..., x„ qui satisfont aux conditions (i),

Revenons aux séries à une variable.