CHAPITRE XI. FON'CTIO.NS DE VARIABLES IMAGINAIRES OOO

série est uniformément convergente pour les valeurs (réelles ; de x qui appartiennent à l'intervalle (o, i) ; il suffit, clans le cas général, de faire la transformation x = x0'£, pour être ramené à ce cas, que je considérerai seul.

En supposant donc que la série

soit convergente, il s'agit de prouver que la série

(1) a0 -+- «rT -H ... H- anxn -H ...

est uniformément convergente clans l'intervalle (o, 1).

Gela va résulter d'une forme du reste, qui comme l'a montré M. O. Stolz, met en évidence non seulement le théorème d'Abel, mais une proposition plus générale. Cette forme du reste résulte elle-même de l'égalité

(3) f(x) = (i—x) (s0 -h six 4- ... H- s7ix» + ...),

où sn désigne en général la somme des n -+- 1 premiers termes de la série (2; ; cette égalité est vraie pourvu que la valeur absolue de x, que je désignerai par x', soit moindre que 1. Qu'il en soit ainsi, c'est ce que l'on voit, soit par une simple vérification, en effectuant la multiplication indiquée clans les econd membre et en constatant qu'on retrouve ainsi, après avoir ordonné, la série 1 , soit en observant que la série

(4) s0 -+- stx -f- ... + snxn -h ...

résulte de la multiplication, par la règle ordinaire, de la série (1) par la série

(5) 1 H- x H- ... H- xn -+- ...

dont la somme est — — . Les deux opérations sont légitimes :

d'une part, en effet, de ce que la limite de sn, pour n infini, est la somme f(i) de la série (2), il résulte que la valeur absolue des nombres sn ne peut dépasser un certain nombre positif fixe P, la borne supérieure de l'ensemble des nombres \ sn\, que, par conséquent, la série (4)> dont le terme général est au plus égal, en valeur absolue, à P„as'" est (absolument) convergente pour x' < 1,

3o/[ INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

en sorte que la multiplication de cette série par i — x ne comporte aucune difficulté; d'autre part, la série (5) est absolument convergente, comme la série (i), pour x' < i ; la règle de la multiplication s'applique donc bien à ces deux séries.

Ceci posé, quand x' est moindre que i, la somme de la série (4) est au plus égale en valeur absolue à

Sous la condition x' << i, on aura donc, à cause de l'identité (3),

l/HI^P^^,1;

Ceci posé, soit /. un nombre réel plus grand que i ; pour l'ensemble des nombres x qui vérifient les deux conditions

I t — cr \ X' < I ,

on aura

et cette inégalité subsiste pour x = i ; en effet les relations j s„|< P, lim. sn=f(i),

n = oo

impliquent f/(i) j 5== P-

Le reste de la série (i), limitée au terme anxn, peut s'écriçe

Rn(x) = xn+iff(x) en posant

v (as) — an+l + an+,x + ... ;

l'inégalité (6) s'applique aussi bien à la série o (x) ; seulement on doit remplacer P par la borne supérieure de l'ensemble des nombres

(?) I «»+l I ' I a"Jr I + a«+2 I ' I an+l

ln+z | v

or, en raison de la convergence de la série (1) on peut faire correspondre à chaque nombre positif £ un nombre naturel p tel que