CHAPITRE XI. FOxNCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES 3o
tous les nombres (7) soient moindres que 1 sous la condition n>p ; sous cette condition, on aura donc
|R»(*)'|<Xb
pourvu que x satisfasse aux conditions suivantes : ou bien x est égal à 1, ou bien on a à la fois
En d'autres termes la série (2) est uniformément convergente 'au sens étroit) pour tout ensemble de valeurs de x qui satisfont à ces conditions, par exemple pour l'intervalle (o, 1), où l'on a x = x'. Quand à l'ensemble des points a? qui vérifient les conditions (8), on reconnaît bien facilement qu'il constitue, en y comprenant le point 1, un domaine simple dont le contour est la petite boucle d'un limaçon de Pascal ayant son point double au point 1 ; si l'on prend ce point pour pôle et la direction qui va vers le point o pour axe polaire, on pourra construire cette boucle au moyen de l'équation, en coordonnées polaires /* et 0,
r = p (X cos 0 — 1 ) ,
en faisant croître 0 de — arc cos j à + arc cos > . On voit tout de
suite que cette courbe est aussi voisine qu'on veut du cercle de convergence pourvu que ). soit assez grand, et que l'angle des tangentes au point double qui contiennent la courbe est, clans ces conditions, aussi voisin de deux droits que l'on veut. Dans ce domaine, la série est uniformément convergente ; sa somme est donc une fonction continue de x, puisque ses termes sont des fonctions continues.
En particulier, quand le pointas s'approche du point 1 en suivant une corde, ou le diamètre, qui aboutit en ce point, f(x) a pour limite /(i).
Voici des applications où je supposerai x réel, d'autant que les fonctions log(i -I- x), arc tg x n'ont pas encore été définies pour d'autres valeurs de x.
Tannkry H. — Introduction à la Théorie des fonctions '20
3o6 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS
On a démontré, en supposant | x ] <; i, les égalités
arc te x — — g- -+- ~e ... ;
elles subsistent pour x = i, puisque, pour cette valeur log(i -h à) et arc tg x sont des fonctions continues ; on a donc
Jt I
On a démontré que, si les deux séries
&o H- h -h ... + èB-|- ....
étaient absolument convergentes, la série
«o^o + («A -H «A) H- — + {aubn 4- ... H- a;i60) 4- ...
était absolument convergente, et que sa somme était égale au produit des sommes des deux premières ; il suffit, pour pouvoir affirmer cette dernière propriété, que les trois séries soient convergentes ; en effet les trois séries
a0 4- atx H- ... 4- anxn H- ..., b0 -+- biX 4- ... 4- b„x" -h ....
a0b0 4- (a0fei 4- a,ib0)x 4- ... 4- (a0b„ 4- ... -+- a„b0)xn -h ...
sont absolument convergentes pour | x ] •< i ; pour de telles valeurs, on a
en désignant par A (as), B(a?), P(œ) les sommes de ces trois séries. Il suffit maintenant de faire tendre x vers i par valeurs réelles et plus petites que i pour arriver à la conclusion énoncée.
