CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES

une série que je suppose convergente tant que l'on J x j << R, en désignant par R un nombre positif.

Pour x = o, f(x) se réduit à a0; c'est d'ailleurs une fonction continue ; si a0 n'est pas nul, f(x) ne sera pas nul tant que la valeur absolue de x sera suffisamment petite ; en d'autres termes on pourra décrire de o comme centre un cercle de rayon suffisamment petit pour que f{x) soit différent de o pour tous les points x qui appartiennent au cercle.

Supposons maintenant

o0 = o, a{ = 0,..., an.i =0, a„^fo;

on aura

f(x) =■ œn(an -h an+ix -+- ...).

Dans un cercle suffisamment petit décrit autour du point o comme centre, la série qui figure entre parenthèses clans le second membre ne s'annule pas; dans le même cercle, la fonction f(x) ne peut s'annuler qu'au centre, pour x = o.

Si donc tous les coefficients de la série (1 ne sont pas nuls, la fonction /(x) ne peut s'annuler pour tous les points d'un ensemble dont o serait un point d'accumulation. En particulier, elle ne peut être nulle pour toutes les valeurs de x.

Deux séries entières en x ne peuvent, sans êfre identiques terme à terme, prendre des valeurs égales pour tous les points d'un ensemble dont o serait un point d'accumulation.

347. — Si l'on a des séries entières en x, convergentes tant que Ton a I x | <C R, on peut les ajouter, les retrancher, les multiplier par des règles semblables à celles que l'on applique aux polynômes ordonnés suivant les puissances croissantes de x : le résultat est toujours une série entière en x, convergente tant que l'on a |œ| < R.

Pour ce qui est de la division, on donnera plus tard (n° 398) une règle plus précise que celle qui suit ; il nous sera toutefois commode de savoir immédiatement que l'opération peut se faire et qu'elle est valable pourvu que la valeur absolue de la variable soit suffisamment petite.

3o8 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

Considérons d'abord une série de la forme

dans laquelle on suppose |aw| f^ i, en sorte que cette série est absolument convergente pour ] x j <C i . Je me propose de chercher s'il y a une série

ty(x) = i -h Pta; -h M2 -+-•■•.

tel que le produit /(ce) #(a?) soit égal à i pour toutes les valeurs de x qui rendent les deux séries convergentes ; d'après le numéro précédent, il faut que, si l'on forme le produit o (x) d» (x) par la règle ordinaire, le premier coefficient soit égal à i et que les autres coefficients soient nuls ; on obtient ainsi les équations

( Pi + «i = o

( Pa + aip2 + «îPi + «3 = 0

qui déterminent successivement et sans ambiguïté les nombres j3t, fia, /33,... ; Ces nombres satisfont évidemment aux inégalités

|Pi| = |«i|< i,

i h I ^ i xi I + j a2 1= 2>

! Ps I < 2 I *d I + I «2 I + I *3 I < 22,

et ] j3„ | 5S 2" l, comme il est bien aisé de le reconnaître.

La série i -h x -+- ix- -+- ... H- 2"~'£Cn -f- ... est absolument

convergente pour { x j -< - ; il en sera de même de la série <b(x),

en supposant les coefficients |3i, /3o,... j3n>... déterminés par les équations (i), et il est clair que l'on aura (p(x) <l>(x) = i,

pourvu que la valeur absolue de x soit inférieure à . — On remarquera que, si l'on veut calculer seulement |3t, /5>,..., Bn, il suffit de connaître ai, a*,..., an et que, au lieu d'employer la mélhode des coefficients indéterminés, on pourra faire la division de i par le polynôme i + aix +...-+- a„xn, en s'arrêtant, au quotient, au terme en xn.