CHAPITRE XI. FO>'CTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES
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Observons encore que, par le raisonnement dont on s'est servi, on est assuré que l'équation ©(a?) = o n'a pas de racine dont
la valeur absolue soit inférieure à -.
Si l'on veut diviser par ®(x) une série entière <î>(a? }, pour
laquelle le rayon de convergence est R, il suffit de former la série
ty(x), puis d'effectuer le produit $(x) d;(cc); le résultat est une
série entière absolument convergente pourvu que la valeur absolue
de x soit inférieure à la fois à R et à
On ramènera au cas précédent la division par une série entière
f(x) = a0 -h atx -+- a.,x2 + ...,
clans laquelle on suppose que a0 ne soit pas nul, en faisant d'abord le changement de variable x = k£, ce qui donne
aj/t' £
do
et en déterminant le nombre positif k de manière que l'on ait, quel que soit le nombre naturel n,
La division par f(k£) sera légitime si l'on a j H ] < - et, par conséquent, la division par f(x) sera elle-même légitime si l'on a j x j << —t.; Quant à la condition imposée à k, on peut certainement y satisfaire; soit en effet X un nombre positif pour lequel la série proposée soit convergente; on aura lira. ]anXrej = o; Il
existe donc un nombre naturel n à partir duquel on a J a>Xn ] <C [ Oo [,
ou
on prendra k plus petit que ). et que
V aj' V UJ' • ' V
3lO INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS
Dans la pratique, pour effectuer la division par f(x) d'une série entière en x, ou plutôt pour calculer les termes du quotient jusqu'au terme en xm, on substituera au dividende et au diviseur les deux polynômes que l'on obtient en supprimant les termes de degré supérieur à m, on effectuera la division d'après la règle relative aux polynômes ordonnés suivant les puissances croissantes de x, et en s'arrêtant au terme en xm.
On reconnaît immédiatement que le quotient contient un terme indépendant de x s'il y en a un au dividende; plus généralement, si le dividende commence par un terme en xp, il en sera de même du quo lient.
348. — On a supposé que le premier coefficient a0 da diviseur n'était pas nul ; si ce coefficient est nul, si le diviseur par exemple peut se mettre sous la forme
anxn -h a,l+lxn+l -+- an+ixnJr* -H ...,
on voit tout de suite comment les choses se passent en se reportant à la division des polynômes ; on peut continuer, pour trouver les premiers termes du quotient, d'appliquer la même règle; on peut aussi effectuer la division par la même série
an -+- an+ix -+- an+ix2 -+-...,
puis diviser chaque terme du quotient par x11 ; ce quotient, si l'on ne peut pas mettre en facteur au dividende une puissance de x égale ou supérieure à m, se présentera sous la forme
X Ju X
|— • . .. — 1 T~ "0 ~r~ O-l^ ~T~ CloX
où r désigne un nombre naturel. Cette forme est valable pourvu que x ne soit pas nul et que sa valeur absolue soit suffisamment petite. On dit alors que, pour le quotient, le point o est un pôle d'ordre r.
Cette notion de pôle, qui s'est déjà introduite dans les fractions rationnelles, est très importante, il convient de la présenter d'une façon générale.
On dit que a est un pôle d'ordre r de la fonction f(x) de la
