CHAPITRE VII. INTÉGRALES DEFINIES

Soit o (t) un polynôme entier en t du degré n, etfx) une fonction de x admettant des dérivées première, seconde, ..., ,ji-i-i)iktae.

je suppose que la dernière de ces dérivées soit continue. Considérons la fonction de l

W(t) = çM (<)/(* -h /»/) — fef»-1' («)/ (x H- A*)

+. AApfc~« (*)/"(x -+- ht) -h ... + (— i)»-* ^-' as' (i)/*'1-1» (x + fit)

où /i est une constante et où d (/), ç" (/), ..., ©(,l) (£) sont les dérivées successives du polynôme © (l) ; en prenant les dérivées des deux membres par rapport à /, on trouvera (nos 210, 231)

VF' (t) = (— i)« /i'H-i o (i)/(n+1) C» H- ht).

On en déduira, en intégrant entre les limites o et i,

W(i) — W(o) = (— l)nA"+* I c? (/)/<»+!) (x 4- fa)df,

ou, en désignant le second membre par R„ et en remarquant que ©(n) (i) est égal à <p(?î) (o), puisque o[n) (t) ne dépend pas de t,

( r)n fcn [? C^JW (x + /,) ç (0)J(„) (^ + Rb>

Si, dans cette formule, on remplace ffl 7 par (i — f)n et que l'on divise les deux membres par ( — i " i. -i ... n, on aura

+ it/':. n /WW + tx^ P (T " 0B/("+1',(* + *0 <"■

253. — Soient cp{x) etj(x) deux fonctions finies et intégrables dans l'intervalle (aQ, a) ; il en sera de même de leur produit ; sup-

posons que, dans cet intervalle, la première fonction (d(x) ne soit jamais négative, ou jamais positive, on aura

'■o(x)f(x)dx= [J. j 'f (x)dx.

en désignant par [± un nombre compris entre la borne inférieure m et la borne supérieure M de la fonction f(x) dans l'intervalle (clo, a) (*) ; sauf dans des cas exceptionnels, que la démonstration précisera suffisamment, on peut affirmer que le nombre u est distinct des nombres m et M. Je supposerai, pour la démonstration, que la fonction œ foc) ne soit jamais négative. Les fonctions

ne sont, en vertu des hypothèses que l'on a faites, jamais négatives dans l'intervalle (a0> a) ', leurs bornes inférieures sont donc, pu nulles, ou positives ; on*a donc, d'après le théorème démontré dans le numéro précédent,

I <p(a:)[M— ./(ar)]da;>o,

j Ça

I <p (x) [f(x) — m] dx > o ;

on ne pourrait avoir le signe = dans la première inégalité que si la fonction

avait, pour borne inférieure o dans tout intervalle contenu dans l'intervalle (a0, a) ; de même pour la seconde inégalité.

D'ailleurs, les inégalités qui précèdent équivalent aux suivantes:

J°a ra r*a

o (x) dx^ o (x)f(x) dx < M I ep (x) dx,

n0 Jaa JaQ

qui démontrent la proposition énoncée.

C1) On donne souvent à ce théorème le nom de premier lliéorème de la moyenne.