CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES 3l
varier n de o à co , on reproduit la série (i) ; en réunissant au contraire les termes où p est le môme et en faisant ensuite varier/) de o à oc on obtient la série entière en x
v0 -+- vxx -h v2x2 4- ... H- vpxi>
en posant
c'est le résultat qu'on avait énoncé.
II. La seconde proposition résulte de celle qu'on vient de démontrer, en transformant comme on l'a expliqué au n° 124, le produit infini en une série
où
Sr= V "^W Ua2(X) ■•■ Ua,.(x)' a,, a2, ...,a,.
la sommation, étant étendue à l'ensemble des systèmes différents de nombres entiers, positifs ou nuls, (ap a2, ..., «,.) tels que l'on ait y,j -< c/., ... <C a,.. La série à entrée 7^* S,, est absolument convergente pour x < a ; elle reste telle quand on y remplace un u2, ... par At, A2J ... ; le terme
peut d'ailleurs être mis sous forme d'une série entière en x, en appliquant les règles de la multiplication des séries : le résultat est toujours absolument convergent dans le domaine défini par la condition | x | <j a. Enfin la valeur absolue de ce terme est au plus égal à Aaj Aa.2 ... Aa,.. La série
S,. = y A«, Aa., ... A, Xi i - a,.
a,, a2, .., ar
est convergente ; il en est de même de la série
On voit donc que toutes les conditions imposées dans le théorème I sont vérifiées pour la série i +S, + S2 + ... ; cette série,
3l4 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS
ou le produit infini, peut donc être mis sous forme d'une série entière en x.
Il convient de remarquer que le coefficient du terme en x dans cette série est le même que dans le développement du produit infini
(i -+- uc>0 -j- uifix) (i + u0A ■+- u1Ax) ... (i H- H0,n H- "l,?i*) •••
Dans le cas où le produit infini
n'est pas nul, c'est-à-dire clans le cas où le produit infini (2) ne s'annule pas pour x = o, ce coefficient peut s'écrire
P0 \~^°- + -HHL + ... + Hi- + ...1 ;
si P0 était nul, l'un des facteurs, par exemple 1 ■+■ w0)^, serait nul, et le coefficient cherché s'obtiendrait en multipliant par ui>p le produit infini dont les différents facteurs s'obtiendraient en donnant à r, dans 1 -1- u0j,, toutes les valeurs o, 1, 2, ...., sauf la valeur p.
La remarque suivante nous sera encore utile : les majorantes naturelles U0(V), Uific), ... des séries u0(x), uL(x), ... satisfont évidemment aux conditions imposées à ces fonctions pour l'application des théorèmes (I) et (II) ; sous ces conditions, par conséquent, et dans le domaine | x | < a, la série
U0(ar) + U1(s) -+-... -+-U»(x) -+- ...
et le produit infini
sont absolument convergents, sont des fonctions continues, sont développables en série entière en x ; ces fonctions sont respectivement des majorantes de la série
ll0(x) + (!,(ï) + ... + Un(x) -h ...
et du produit infini
[1 +u0(x)] [1 -+- Ui(x)] ... [1 +n„(a;)]... .
