III. Supposons que la série, entière en y

9 (y) = bo -+- bJ + ■•■ ■+■ Ky* -+- ...

soit absolument convergente sous la condition [ y [ < b, en désignant par b un nombre positif. Soit maintenant

j[x) = a0 H- aLx -h ... H- a/rx" -h ...,

une série entière en x, absolument convergente sous la condition | x | <; a, en désignant toujours par a un nombre positif. Je suppose en outre que la somme de la série

I ao I + I aia I + ••• + I a«a'1 1 "+■ ■••

soit au plus égale à b.

Dans ces conditions, si, clans la série g (y), on regarde y comme étant égal à f(x), il est clair qu'on aura défini une fonction continue de x dans le domaine | x | < a. Cette fonction peut encore être représentée par une série entière en x.

C'est une conséquence aisée de la proposition I ; en effet y, y-, ...,yn, ... sont des séries entières en x, absolument convergentes pour x ^ a ; les sommes de ces séries, quand on y remplace les coefficients par leurs valeurs absolues et x par a, restent au plus égales à b, b2, ..., bn, ... ; on en conclut que les conditions imposées dans le théorème I sont vérifiées pour la série b0 +- 6jj+ b.2y2 -h ..., quand on y regarde les termes comme les séries entières en x que l'on vient de définir.

Dans le cas où la série g (y) est convergente quel que soit y, le rayon de convergence de la série en x que l'on obtient en procédant comme on l'a expliqué est au moins égal au rayon de convergence de la série f(x).

IV. La proposition III est susceptible d'une généralisation qu'il suffira d'énoncer.

Soit, en reprenant les notations du n° 344,

{,) y Aa a a x"l x** ... xa",

»1, 2o, .. } (Xp

une série puPle h p variables, absolument convergente sous les conditions

(2) l^il^«i. [«« f <a2, ..., ! 2^ [<;«»,

3l6 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

où «,, a2, ..., ap sont des nombres positifs; si l'on regarde xr (}"--= i) 2î ■■■■, p) comme la somme d'une série entière en x, absolument convergente sous la condition | x | <; a (a positif), et dont la majorante naturelle prenne pour x = a une valeur au plus égale à a,., la somme de la série (i) sera une fonction de x, définie sous la condition | £c | <l a, qui peut se mettre sous forme d'une série entière en x absolument convergente pour x = a.

Dans les propositions I, II, III, IV, u„ (x), f (x), xr ont désigné des séries entières en x ; naturellement les propositions subsistent quand quelques unes de ces séries se réduisent à des polynômes ; c'est ce qui arrive dans l'importante proposition qui suit.