Soit

(i) f(x) = a0 -\~axx -h . . . -+■ anxn -+- ...

une série entière en x. Pour ne pas multiplier les notations, je me permettrai d'employer le même symbole fix) pour désigner la série et sa somme. Je désignerai par x' la valeur absolue de x et par a'n celle de an(n = o, i, 2, ...). Je suppose que la série (1) converge (absolument) sous la condition x' <C A, A. étant un nombre positif, que l'on pourra prendre arbitrairement si la série (1) converge quel que soit x, que l'on prendra, dans le cas contraire, égal ou inférieur au rayon de convergence R de la série (1). Il est à peine besoin de dire que l'on exclut le cas insignifiant où ce rayon serait nul.

Je regarderai provisoirement x et x' comme fixes ; on suppose x'<A; soit H un nombre positif fixe moindre que A — x' ; soit h une variable assujettie à la condition | h | < H. La fonction de h

j (x -f- h) = a0 -4- ai (x -+- h) -+• ,.. -j- an(x + h)" -+■ ...

est définie pour toutes les valeurs de h qui satisfont à cette condition ; la série

a'Q + a\(x' +H) + ... + a'n(x' + II)» + ...

est d'ailleurs convergente puisque x' + II est moindre que A . Il suit de là que la série