CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES
où h est la variable, satisfait aux conditions sous lesquelles le théorème I du numéro précédent est applicable : an (x -h h)n remplace un(x) ; a'n(x' H- H)ra remplace A„. On peut donc développer et ordonner suivant les puissances de h ; le coefficient de hn est le produit par
de la série
n (n — 1) ... 1 a„-h(n+ 1) n ... 2an+ix-\-(n-h2) (n-+- 1) ... 3anj 2x2-t- ...
qui, en vertu du théorème même que l'on applique, est une série convergente pour | x | <C A.
En résumé, on est parvenu au théorème que voici :
Soit
(1) f(x) = «0 H- ayx 4- ... -+- anxn -+- ..
une série entière en x, convergente pour | x | <C A ; sous la même condition, les séries
J' (x) = a, -h 2 a2x -+- 3 aax2 -f- ... -h (/i-h i ) anJrixn + . . . ,
j" (x) = i.2a.2+ 2 .3 a3œ-t-3./i a4a;2-H. . . H- (/i+ 1 ) (^+2) ans-iXn-\- ...,
2) < " " ■■■" 1 W(i»)(a:)= 1.2 ... pa;, -f- 2.3 ... (/j -h i)a,,+ lx -\- ...
j -+- {n -+- 1 ) (n -h 2) . . . (n -f- p) a;!+2,a;ra H- . . . ,
sont absolument convergentes et l'on a
(3) f(x + h)=f(x) + \f{x) + ^J>(x) + ... + ~^iJ^(x) + ...,
sous les conditions
La première de ces conditions, nécessaire pour que la seconde puisse être vérifiée par quelque valeur de h, est nécessaire aussi pour que l'on soit assuré de la convergence des séries f (as), f" (x), ...
3l8 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS
On remarquera que la série f" (se) se déduit de la série /' (x) comme la série/' (as) se déduit de la série f[x) ; de même, la série f'"(x) de la série f" \X), etc.. Si l'on se donnait la série f (x), les coefficients de la série f(x) seraient tous déterminés, sauf aQ ; f(x) serait déterminée à une constante additive près.
Les séries f (ce) , f" (x) , ... convergent pourvu que l'on ait | x | <C A ; leur rayon de convergence est au moins égal à A.
Si la série f(x) est convergente quel que soit x, il en est de même des séries f (x) , f" (x) , ...
Si le rayon de convergence de la série (i) est R, il en est de même pour les séries f (as) ,f (x) , ... D'abord le rayon de convergence de ces dernières séries est au moins égal à R, puisqu'on peut prendre A = R. Si, maintenant, la série/' (x), par exemple, converge pour la valeur x, son n,ème terme nanxn~l tend vers o quand n augmente indéfiniment; il en est de même, a- fortiori; de anxn"s et, par suite de anxn; on a donc | x j < R (n° 342) et par conséquent le rayon de convergence de la série f (x) ne peut dépasser R : il est égal à R.
Toutefois, sur la circonférence même du cercle de convergence, le caractère de la série f{x) et de la série/' (x) n'est pas le même, en général. Si la dernière série est absolument convergente au point x, il en est de même de la première, dont les coefficients sont plus petits en valeur absolue ; mais la réciproque n'est pas vraie, comme on le voit en prenant, par exemple,
d'où l'on tire
oc
La première série converge pour x = 1, et non la seconde.
Si la série (1) est convergente quel que soit x, on peut prendre A aussi grand qu'on le veut, la série (h) est convergente quel que soit /< ; l'égalité (3) a lieu quels que soient x et h.
Si le rayon de convergence de la série ,1 est R, on peut prendre A = R ; x est une constante assujettie à la condition | x \ <C H; la série (h est absolument convergente, et la formule 3 est \a-
