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elle sera donc identique à la série qui figure dans le dernier membre de l'égalité précédente; c'est ce qu'on reconnaîtrait d'ailleurs aisément en faisant le calcul; l'égalité précédente est valable, et la série qui figure dans le second membre est convergente, sous la seule condition \ h \ <C | i — x | : or, on a | i — x \ >■ 1 — | x |, si x n'est pas réel.

Il est tout naturel de se demander si les choses se passeront en général comme dans l'exemple précédent, c'est-à-dire si l'égalité (3), qui n'est démontrée que sous la condition | // | <C R — | x |, subsiste tant que la série qui figure dans le second membre est convergente; on établira un peu plus tard qu'il en est bien ainsi, en supposant

On établira aussi que le rayon de convergence de la série (h) est au plus égal à R -+- \ oc ).

La proposition qui fait l'objet principal du présent numéro s'étend sans peine aux séries entières à plusieurs variables. Je me borne à quelques indications sur ce sujet.

351. — Reprenons les notations du n° 344 relatives à la série

J \xn xii •■■ xv) — ^^ A-oLUoLi,...CLpxi x-i"'"xv '

regardons £Cls cc2, ..., îcp comme des constantes satisfaisant aux conditions

| x, | < a,, |-as, | < a2, ..., | x,, | < a;),

où cette fois l'égalité est exclue; soient H, , H3, ..., H^ des nombres positifs respectivement inférieurs à

et hi, h.2, ..., /i,, des variables assujetties aux conditions

sous ces conditions, la fonction f(xL -+- /ii, œ2 H- h.2, ..., £c;j h- /i;)) peut se mettre sous la forme d'une série entière en ht, h.v ..., hp absolument convergente; les coefficients sont eux-mêmes des séries entières en x{, x, ... xv, absolument convergentes sous les conditions énoncées. Je n'insiste pas sur la loi de ces coefficients, je me contenterai de remarquer que le coefficient de hv est

,- | ^-a^a.,,. .,ctpaix1 x2~ ••• xp y

OCj, SCoj ..-, Otp

où il est entendu qu'il ne figure pas de puissance des variables à exposant négatif; le terme écrit disparait quand <*! est nul.

352. — Supposons que la fonction f(x) soit définie au point x et aux environs. Si, en désignant par s un nombre positif, qui peut d'ailleurs être aussi petit qu'on le veut, la fonction f(x H- h) de la variable h peut sous la condition | h | <C s, se mettre sous la forme

la fonction f(x) est dite régulière au point x. Le nombre A0 est forcément égal à f{x), puisque l'égalité précédente doit subsister pour li — o. La fonction ne peut pas être régulière au point x sans y être continue.